  "The answer is no, although it doesn't seem so easy to give a rigorous counter-example."  Glougloubarbaki^[1]


" Mathematics takes place at different time-scales. If you can solve a problem in 55 minutes that others need an hour to solve, you can probably get a good job. If you can solve a problem in a month that others might need a year to solve, you will probably do well as a graduate student. But if you can solve a problem in 10 years that nobody else can solve in a lifetime, you could be a great mathematician." Robert Israel

  " anyone who wishes to study this topic should earn a Ph.D. in number theory and spend several years researching the relevant topics in depth, with the guidance of a world class expert." Alon Amit, PhD in Mathematics; Mathcircler.

  "The author apologises wholeheartedly to those who dare read the source code." Freddie R. Exall

  A BELIEF IS NOT A PROOF.

  "Category theory is ... the most, abstract fields of mathematics" Robb Seaton^[2]

  For the sake of completeness, here is the entire code I used:"

   "That's quite a comprehensive analysis: It'll take me probably a week (or better a month) to understand it. " marcm200^[3]

    I feel this is a very basic question, but I seem to be unable to find an answer for (neither by myself nor searching)  marcm200

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Links :

2D normalized homogenous coordinate

Coordinate

finite point $z$ on the complex plane $z\in {\hat {\mathbb {C} }}$ with Cartesian coordinate $z=x+y*i$
point r on the extended complex plane (= Riemann sphere )
- 2D homogenous coordinate $r=[s,t,u]$
- normalized 2D homogenous coordinate $n=[v,w]$

Special points

origin $z=0$
point at infinity
- in homogenous coordinate : when last coordinate u is 1 $[s,t,1]$ then it is a point at infinity
- in normalized homogenous coordinate $[v,1]$

Conversions

from Cartesian coordinate to homogenous coordinate
from homogenous coordinate to normalized homogenous coordinate

from normalized homogenous coordinate to homogenous coordinate

from homogenous to Cartesian coordinate

The original Cartesian coordinates are recovered by dividing the first two positions by the third. Thus unlike Cartesian coordinates, a single point can be represented by infinitely many homogeneous coordinates. Note that here not u ( typical) but 1-u is used

The mapping from the sphere to the finite plane is

If $u<1$

  $x={\frac {s}{1-u}}$ 
  $y={\frac {t}{1-u}}$ 
  $z={\frac {x+y*i}{1-u}}$

If $u=1$ then z is point at infinity $z=\infty$

PBURF

 git clone https://github.com/luisjavierhernandez/PBURF.jl.git
 cd PBURF.jl
 cd src

julia

              _
   _       _ _(_)_     |  Documentation: https://docs.julialang.org
  (_)     | (_) (_)    |
   _ _   _| |_  __ _   |  Type "?" for help, "]?" for Pkg help.
  | | | | | | |/ _` |  |
  | | |_| | | | (_| |  |  Version 1.5.3
 _/ |\__'_|_|_|\__'_|  |  Ubuntu ⛬  julia/1.5.3+dfsg-3
|__/                   |


julia> pwd()
"/home/a/PBURF.jl/src"


julia> readdir()
1-element Array{String,1}:
 "PBURF.jl"

julia> include("PBURF.jl")

julia> import Pkg; Pkg.add("Polynomials")
julia>import Pkg; Pkg.add("Polynomials")
julia>import Pkg; Pkg.add("Colors")

function calculators

critical point

https://math.stackexchange.com/questions/502750/when-is-infty-a-critical-point-of-a-rational-function-on-the-sphere

Just choose an appropriate pair of charts. Write $f(z)=p(z)/q(z)$ , where $p$ and $q$ are polynomial functions with no common zeros. We may assume $f$ is not a constant function – the constant case is trivial. There are a few cases:

first case

$f(\infty )=\infty$ – look at the function $w\mapsto {\frac {1}{f(1/w)}}$ . The derivative is given by

${\frac {f'(1/w)}{w^{2}f(1/w)^{2}}}={\frac {p'(1/w)q(1/w)-p(1/w)q'(1/w)}{w^{2}p(1/w)^{2}}}$ but it's not immediate how to extract anything useful from this expression. Instead, suppose the leading term of $p(z)$ is $az^{n}$ while the leading term of $q(z)$ is $bz^{m}$ . We must have $n>m$ if $f(\infty )=\infty <math>,andthenumeratorisofdegree<math>n+m-1$ (in terms of $1/w$ ) and the denominator is of degree $2n-2$ .

Now there are two subcases:

$m=n-1$ – then the value of the expression at $w=0$ is ${\frac {b}{a}}$ ; in particular, $\infty$ is not a critical point of $f$ .
$m<n-1$ – then the value of the expression at $w=0$ is $0$ , so $\infty$ is a critical point of $f$ .

second case

  $f(\infty )\neq \infty$

look at the function

  $w\mapsto f(1/w)$ .

The derivative is given by

  $-{\frac {f'(1/w)}{w^{2}}}=-{\frac {p'(1/w)q(1/w)-p(1/w)q'(1/w)}{w^{2}q(1/w)^{2}}}$

but again it's not clear what we can say from this.

Let $az^{n}$ be the leading term of $p(z)$ and let $bz^{m}$ be the leading term of $q(z)$ .

We must have $n\leq m$ if $f(\infty )\neq \infty$ , and the numerator is of degree $n+m-1<math>(if<math>n\neq m$ ) or $<n+m-1$ (if $n=m$ ) and the denominator is of degree $2m-2$ .

Now there are four subcases:

$n=m=1$ – then $f$ is a Möbius transformation and the value of the expression is non-zero; in particular, $\infty$ is not a critical point of $f$ .
$n=m>1$ – if the numerator is of degree $2m-2$ as well, then the value of the expression is non-zero; if the numerator is of degree $<2m-2$ , then the value of the expression is zero. (Both sub-subcases are possible, of course.)
$n=m-1$ – then the value of the expression at $w=0$ is $-{\frac {a}{b}}$ ; in particular, $\infty$ is not a critical point of $f$ .
$n<m-1$ – then the value of the expression at $w=0$ is $0$ , so $\infty$ is a critical point of $f$ .

At any rate, the point is that there is no _easy_ criterion purely in terms of the values of $f$ and $f'$ .

rigorous studies of nonlinear systems

computing enclosures of trajectories
finding and proving the existence of symbolic dynamics
obtaining rigorous bounds for the topological entropy
methods for finding accurate enclosures of chaotic attractor
interval operators for proving the existence of fixed points and periodic orbits
methods for finding all short cycles

https://rd.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-95972-4_2

methods

graphic software

text color

some notes

Some notes from | wikipedia

$Z^{2}$

$\operatorname {Re} =x^{2}-y^{2}$
$\operatorname {Im} =2*x*y$

$Z^{3}$

$\operatorname {Re} =x^{3}-3*y^{2}*x$
$\operatorname {Im} =3*x^{2}*y-y^{3}$

$Z^{4}$

$\operatorname {Re} =x^{4}-6*x^{2}*y^{2}+y^{4}$
$\operatorname {Im} =4*x^{3}*y-4*x*y^{3}$

$Z^{5}$

$\operatorname {Re} =x^{5}-10*x^{3}*y^{2}+5*x*y^{4}$
$\operatorname {Im} =5*x^{4}*y-10*x^{2}*y^{3}+y^{5}$

$Z^{6}$

$\operatorname {Re} =x^{6}-15*x^{4}*y^{2}+15*x^{2}*y^{4}-y^{6}$
$\operatorname {Im} =6*x^{5}*y-20*x^{4}*y^{2}+6*x*y^{5}$

$Z^{7}$

$\operatorname {Re} =x^{7}-21*x^{5}*y^{2}+35*x^{3}*y^{4}-7*x*y^{6}$
$\operatorname {Im} =7*x^{6}*y-35*x^{4}*y^{3}+21*x^{2}*y^{5}-y^{7}$ ,

$\exp(Z)$

$\operatorname {Re} =\exp(x)*\cos(y)$
$\operatorname {Im} =\exp(x)*\sin(y)$

$\ln(Z)$

$\operatorname {Re} =0.5*\ln(x^{2}+y^{2})$
$\operatorname {Im} =\arctan(y/x)$

$\sin(Z)$

$\operatorname {Re} =\sin(x)*((\exp(y)+\exp(-y))/2)$
$\operatorname {Im} =\cos(x)*((\exp(y)-\exp(-y))/2)$

$\cos(Z)$

$\operatorname {Re} =\cos(x)*((\exp(y)+\exp(-y))/2)$
$\operatorname {Im} =-\sin(x)*((\exp(y)-\exp(-y))/2)$

$\sinh(Z)$

$\operatorname {Re} =\cos(y)*((\exp(x)-\exp(-x))/2)$
$\operatorname {Im} =\sin(y)*((\exp(x)+\exp(-x))/2)$

$CosH(Z)$

$\operatorname {Re} =\cos(y)*((\exp(x)+\exp(-x))/2)$
$\operatorname {Im} =\sin(y)*((\exp(x)-\exp(-x))/2)$

A Gentle Introduction to the Art of Mathematics by Joe Fields,

parabolic/hyperbolic/elliptic

The meaning of the terms "elliptic, hyperbolic, parabolic" in different disciplines in mathematics^[4]

PDE ( Linear Second Order PDE’s in two Independent Variables) : https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation
Moebius transformations = Classification of Isometries ( https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~alessandrini/Arith_Reports/1-hyperbolic%20geometry.pdf)
dicrete local complex dynamics
Conic section
Quadratic form
probability distributions.

coordinate
elliptical

hyperbolic

hyperbolic". usually) means that |f′(t)|≠1| , https://math.stackexchange.com/questions/2172002/is-indeterminate-a-better-name-than-indifferent-for-neutral-fixed-points
http://www.scholarpedia.org/article/Hyperbolic_dynamics

curves

https://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/rosace/rosace.shtml rose curve = n-folium: The curve is composed of a n base patterns. The pattern is called : the petal or branch / leaf / lobe - symmetrical about Ox obtained for angle between -pi/(2n) and pi/(2n)

osculating circle of a sufficiently smooth plane curve

https://www.geogebra.org/m/eemfktww

curvature

Interesting curves involning the curvature concept by Xah Lee:

Evolute curve (the centers of osculating circles)
Radial curve (locus of osculating circle normals)
circle = curve with constant curvature everywhere
line = curve with curvature of 0 everywhere)
Clothoid = spiral cirve of linearly increasing curvature)

simplify curve

Polyline Simplification
to Reduce the Number of Nodes in Curve Object
reduce-the-number-of-points-in-a-curve-while-preserving-its-overall-shape
given a curve composed of line segments (= polyline ) find a similar curve with fewer points
decimate a curve composed of line segments to a similar curve with fewer points
- stackoverflow question: how-to-reduce-the-number-of-points-in-a-curve-while-preserving-its-overall-shape
- geometrictools : PolylineReduction
- "removing the point whose angle between neighboring points is closest to 180 degrees, until some threshold, or until you've reached a desired number of points." aioobe
- https://en.wikipedia.org/wiki/Ramer%E2%80%93Douglas%E2%80%93Peucker_algorithm

geometry

Moore-Neighbor Tracing

chain code

test

$1/237142198758023568227473377297792835283496928595231875152809132048206089502588927\approx 4.21687917729220928973942962050800760308398455294740302003110521004325771638790385468222014406044810316697454753662...*10^{-}81$ ${\frac {1}{2^{267}-1}}={\frac {1}{237142198758023568227473377297792835283496928595231875152809132048206089502588927}}\approx 4.216879177292209*10^{-81}$ ( land on the root point of period 267 component : c267 = 0.250137369683480-0.000003221184145 i with angled internal adress : $1{\xrightarrow {1/267}}267$

( land on the root point of period 268 component c268 = 0.250137369683480-0.000003221184145i period = 10000 i with angled internal adress : $1{\xrightarrow {267/268}}268$

mandelbrot set

the Mandelbrot set for the function 1/z - z∙(1 + 0.001∙z)/(1 - 0.002∙z + 0.001∙z2) = "1 -0.002 - 0.999 -0.001 0 1 -0.002 0.001":

  $f(z)={\frac {1}{z}}-{\frac {z*(1+0.001*z)}{(1-0.002*z+0.001*z^{2})}}$

http://www.juliasets.dk/UFP.htm

video

programs

gradient line of the 2D scalar field

Key words:

"gradient line" 2d "scalar field"

flow :

level curves and gradient vector
flow across continuously-spaced level curves
The flow’s derivative is the gradient – the flow will follow the gradient vectors
gradient is the direction of steepest ascent in the zz-direction, the reverse of the flow is the path of an object as it rolls on the surface, starting from a high place and rolling down to a lower place (in the exact opposite direction as the gradient vectors point).
def from Streamline Tracing on Irregular Grids by H˚akon Hægland
- "The instantaneous curves that are at every point tangent to the direction of the velocity at that point are called streamlines of the flow"
- "A pathline of a fluid particle is the locus of its position in space as time passes. It is thus the trajectory of a particle of fixed identity"

Khan

the gradient points in the direction which increases the value of f most quickly. There are two ways to think about this direction:

Choose a fixed step size, and find the direction such that a step of that size increases fff the most. Given steps of a constant size away from a particular point, the gradient is the one which increases f the most.
Choose a fixed increase in fff, and find the direction such that it takes the shortest step to increase fff by that amount. Given steps which increase f by a given size, the gradient direction is the shortest among these.

Either way, you're trying to :

maximize the rise over run,
either by maximizing the rise, or minimizing the run.

MathWorks

Numerical Gradient The numerical gradient of a function is a way to estimate the values of the partial derivatives in each dimension using the known values of the function at certain points.

For a function of two variables, F(x,y), the gradient is

∇F=∂F/ ∂x ˆi + ∂F ∂y ˆ j .

The gradient can be thought of as a collection of vectors pointing in the direction of increasing values of F. In MATLAB®, you can compute numerical gradients for functions with any number of variables.

Tips Use diff or a custom algorithm to compute multiple numerical derivatives, rather than calling gradient multiple times.

Algorithms gradient calculates the central difference for interior data points. For example, consider a matrix with unit-spaced data, A, that has horizontal gradient G = gradient(A). The interior gradient values, G(:,j), are

G(:,j) = 0.5*(A(:,j+1) - A(:,j-1)); The subscript j varies between 2 and N-1, with N = size(A,2).

gradient calculates values along the edges of the matrix with single-sided differences:

G(:,1) = A(:,2) - A(:,1); G(:,N) = A(:,N) - A(:,N-1); If you specify the point spacing, then gradient scales the differences appropriately. If you specify two or more outputs, then the function also calculates differences along other dimensions in a similar manner. Unlike the diff function, gradient returns an array with the same number of elements as the input.

potential flow

https://gregjavens.com/2016/03/12/laplace-equation-finite-element-method-3/

Construction of a potential flow.svg

spiral

The Golden Ratio and the Golden Angle

In disc phyllotaxis, as in the sunflower and daisy, the mesh of spirals occurs in Fibonacci numbers because divergence (angle of succession in a single spiral arrangement) approaches the golden ratio. The shape of the spirals depends on the growth of the elements generated sequentially. In mature-disc phyllotaxis, when all the elements are the same size, the shape of the spirals is that of Fermat spirals—ideally. That is because Fermat's spiral traverses equal annuli in equal turns. The full model proposed by H Vogel in 1979^[5] is

r=c{\sqrt {n}},

\theta =n\times 137.508^{\circ },

where θ is the angle, r is the radius or distance from the center, and n is the index number of the floret and c is a constant scaling factor. The angle 137.508° is the golden angle which is approximated by ratios of Fibonacci numbers.^[6]

The pattern of florets produced by Vogel's model (central image). The other two images show the patterns for slightly different values of the angle.

Illustration of Vogel's formula of the pattern of sunflower florets (see article) for n from 1 to 500, using the polar coordinates equations $r=c{\sqrt {n}}$ and $\theta =n\times {\frac {2\pi }{\phi +1}}$ . Can be produced using the following MATLAB code:

n=1:500;
r=sqrt(n);
t=2*pi/((sqrt(5)+1)/2+1)*n;
plot(r.*cos(t),-r.*sin(t),'o')

https://www.shadertoy.com/view/4lGfDd https://www.youtube.com/watch?v=sj8Sg8qnjOg

Vogel's mode

A model for the pattern of florets in the head of a sunflower was proposed by Helmut Vogel in 1979.^[7] This has the form

  $\theta ={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}n$ 
  $r=c{\sqrt {n}}$ 
  $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

where:

$n$ is the index number of the floret
$c$ is a constant scaling factor

The florets thus lie on Fermat's spiral. The divergence angle, approximately 137.51°, is the golden angle, dividing the circle in the golden ratio. Because this ratio is irrational, no floret has a neighbor at exactly the same angle from the center, so the florets pack efficiently. Because the rational approximations to the golden ratio are of the form $F (j): F (j + 1)$ , the nearest neighbors of floret number $n$ are those at $n \pm F (j)$ for some index $j$ , which depends on $r$ , the distance from the center. Sunflowers and similar flowers most commonly have spirals of florets in clockwise and counter-clockwise directions in the amount of adjacent Fibonacci numbers,^[8] typically counted by the outermost range of radii.^[9]

Algorithm

code

https://www.desmos.com/calculator/risuha09iw

R code

#http://www.mathrecreation.com/2015/08/simple-fun-with-r.html
# https://github.com/dmackinnon1/r_examples/blob/master/simple/example2.r

#example 2b phyllotaxis spiral
t <- 1:500
p <- (1 + sqrt(5))*pi
plot(sqrt(t)*cos(p*t), sqrt(t)*sin(p*t), type="p", axes=FALSE)

Maple code

# code from : http://personal.maths.surrey.ac.uk/ext/R.Knott/Fibonacci/seedPlotMaple.txt
# by Ron Knott

> with(plots):

#Growpts shows a single picture (plot) of n seeds (points) distributed at 
#TurnperSeed (a numberbetween 0 and 1) which is the fraction of 1 turn between 
#one seed and the next,

> 
growpts:=(n,TpS)->growpts1(n,TpS,POINT):
growpts1:=proc(n,TurnperSeed,symb) local i,a,r,s,phi2pi;
   s:=null;
   phi2pi:=TurnperSeed*2*Pi;
   listplot([seq([sqrt(n-i)*cos(phi2pi*i),sqrt(n-i)*sin(phi2pi*i)],i=1..n)],
      style=POINT,axes=NONE,scaling=CONSTRAINED,symbol=symb)
end;



#Here is a seed-head with Pi turns between each seed.  
#Since Pi=3.14159>1, it is the same as 0.14159 turns per seed.  
#Note how there are 7 radial arms (corresponding to 22/7 for Pi) near the centre 
#and the next set of radial arms are 113 arms with seeds placed 16 arms apart 
#(since the next best approximation to Pi is 3+16/113=355/113).

> growpts(1000,Pi);

#Here we take a single Turns-per-seed value and keep adding a new seed 
#(at the centre) showing the seed head growing up to n seeds finally.  
#The plots are animated to show the growing process:


>
seedplot := proc(n, ratio)
  display([seq(growpts1(i, ratio, CIRCLE), i = (1 .. n))], insequence = true, 
  style = point, scaling = constrained, axes = NONE)
end proc;

#Here is 100 seeds at Phi =1.618.. turns per seed (which is the same as 
#Phi-1=0.618..=phi turns per seed):

> seedplot(100,(sqrt(5)-1)/2);

intersection of polar curves

iteration

atan2

conformal

" Conformal transformation: One can find solutions to the Dirichlet problem for a wider class of regions by conformal transformations. These are transformations which preserve the angles and have the property that the transplanted function is harmonic if the original function is harmonic. One can obtain conformal transformations using complex function (x,y) -> (u,v): if z=x+iy and F(z) is a polynomial in z and F(z)=u+i v, then the map is conformal. For example, to solve the Dirichlet problem outside a wing, one can transform the circle into the wing using a conformal transformation. Such methods are relevant in engeneering." http://www.math.harvard.edu/archive/21b_fall_03/laplace/index.html
https://www3.cs.stonybrook.edu/~gu/tutorial/RiemannMapping.html
https://www.chebfun.org/docs/guide/guide16.html
https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/Other/OverviewConformalGeometryProcessing.pdf
http://www-users.math.umn.edu/~olver/ln_/cml.pdf
The Euler conformal map, a special case of the M¨obius transformation, maps circles to circles
https://gregjavens.com/2016/05/11/conformal-map/
https://gregjavens.com/2016/03/12/laplace-equation-finite-element-method-3/
http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/ConformalMapDictionary.2.html
https://www3.cs.stonybrook.edu/~gu/
https://arxiv.org/abs/1306.1162
http://www.eng.biu.ac.il/weberof/publications/
http://wwwf.imperial.ac.uk/~dgcrowdy/GuTalk.pdf

numerical conformal mapping=

Orthogonal

Ancillary figure for van Roomen's solution to the problem of Apollonius.

tangent to circle in the polar form

 z= r(t)

is line :

 y = x*tan(t)

Creating a cardioid by rolling a circle on a circle of the same radius
animation

Tangent to cardioid in polar form :

 z = 2a( 1 - cos(t))

is line :

 // y = (x*(-1+2*cos(t))*sin(t)+(-3+3*cos(t))*sin(t))/(-1+2*cos(t)^2-cos(t))
 y = (x*(-1+2*cos(t))*sin(t)+(-2a+2a*cos(t))*sin(t))/(-1-cos(t)+2*cos(t)^2)

where t is changing from 0 to 2*pi

Compare :

ellipse

$(x,y)=(a\cos t,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \ .$

slope m

$m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad$

The equation of the tangent at point ${\vec {c}}_{\pm }(m)$ has the form $y=mx+n$

$y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\;.$

https://www.math24.net/tangent-normal-lines-page-2/#example11 https://www.math24.net/implicit-differentiation/

Implicit

function
implicit differentiation = differentiation of the implicit function

sqare root

http://mathlets.org/mathlets/complex-roots/
https://flothesof.github.io/branch-cuts-with-square-roots.html
http://phantomgraphs.weebly.com/
https://math.stackexchange.com/questions/1797223/graphically-solving-for-complex-roots-how-to-visualize?noredirect=1&lq=1
Reciprocal Function as a Mapping
branch cuts
- https://www.cs.cmu.edu/Groups/AI/html/cltl/clm/node129.html
- sqrt : The branch cut for square root lies along the negative real axis, continuous with quadrant II. The range consists of the right half-plane, including the non-negative imaginary axis and excluding the negative imaginary axis.
- https://math.stackexchange.com/questions/923931/problem-identifying-branch-cuts-of-a-square-root-function?noredirect=1&lq=1

repeated

smooth curve from points

"curve fitting is a set of techniques used to fit a curve to data points "

Fit method

linear
- join points with segments = concatenated linear segments
- straight line using linear regression
nonlinear
- polynomial
- cubic spline
  - Smooth Bézier Spline Through Prescribed Points

trace a curve

sketch a curve

http://xaktly.com/DerivativesIII.html

boundary trace

level sets

https://scicomp.stackexchange.com/questions/1348/given-values-on-a-mesh-what-algorithm-can-i-use-to-construct-efficiently-level?rq=1

tree

https://www.youtube.com/watch?v=BEz-vGJvaik

People

Marius-F. Danca

petal

"An attracting petal, P + , for a map M at zero is an open simply connected forward invariant region with 0 ∈ ∂P + , that shrinks down to the origin under iteration of M . More precisely, P + is an attracting petal if M (P + ) ⊂ P + ∪ {0} and n≥0 M n (P + ) = {0}. "^[10]

example

http://mathoverflow.net/questions/104482/parabolic-immediate-basins-always-simply-connected?rq=1 "An example is f(z)=z+1−1/zf(z)=z+1−1/z. There is one petal for the neutral point at infinity. Let AA be the dmain of attraction of ∞∞. Critical points are ±i±i. Everything is symmetric with respect to the real line, because the function is real. One critical point is in AA, so by symmetry the other one is also in AA. The map f:A→Af:A→A is 2-to-1 (because ff is of degree 22), so Riemann and Hurwitz tell us that AA is infinitely connected."

shareciteeditflag answered Aug 12 '12 at 13:38

Alexandre Eremenko

cylinder

What is the difference between the cylinder $\mathbb {C} \setminus 0$ and cylinder $\mathbb {C} /\mathbb {Z}$ ?

topology

"A topologist is someone who doesn't know the difference between a cup of coffee and a donut."

El método de Mandelbrot : este método para desarrollar "objetos fractales" fue creado por Benoît Mandelbrot en la década de los años 70, mientras trabajaba en IBM. Consiste en construir, para cada punto c del plano complejo, una sucesión de números complejos z_n. Partiendo del punto z₀ = 0, se calcula la sucesión de forma iterativa mediante la fórmula z_n+1=F(z_n)+c, donde F es una función arbitraria previamente elegida. Cuando la sucesión iterativa está acotada, se asigna al punto c del plano complejo un color sólido (por ejemplo, el color negro). Si la sucesión diverge entonces se asigna al punto c un color progresivamente distinto, dependiendo de cuántas iteraciones hayan sido necesarias para detectar la divergencia de la sucesión.

El fractal derivado por este método cuando se toma la función F(z)=z² se llama conjunto de Mandelbrot.

En lo que sigue, en lugar de z_n+1=F(z_n)+c se utilizará la notación Z=F(Z)+C, como si se tratara de una asignación en algún lenguaje de programación.

Z = Z^m + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z^m + C, según el método de Mandelbrot.

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Z^m + C

Archivo:MANDEL Z2+C.jpg

Z = Z² + CConjunto de Mandelbrot
Archivo:MANDEL Z3+C.jpg

Z = Z³ + C
Archivo:MANDEL Z4+C.jpg

Z = Z⁴ + C
Archivo:MANDEL Z5+C.jpg

Z = Z⁵ + C
Archivo:MANDEL Z6+C.jpg

Z = Z⁶ + C
Archivo:MANDEL Z7+C.jpg

Z = Z⁷ + C
Archivo:MANDEL Z8+C mediumB.jpg

Z = Z⁸ + C
Archivo:MANDEL Z9+C mediumB.jpg

Z = Z⁹ + C
Archivo:MANDEL Z10+C mediumB.jpg

Z = Z¹⁰ + C
Archivo:MANDEL Z11+C mediumB.jpg

Z = Z¹¹ + C
Archivo:MANDEL Z12+C mediumB.jpg

Z = Z¹² + C
Archivo:MANDEL Z12+C detall.jpg

Z = Z¹² + C
x 8
Archivo:MANDEL Z20+C medium.jpg

Z = Z²⁰ + C
Archivo:MANDEL Z20+C detall.jpg

Z = Z²⁰ + C
x 10
Archivo:MANDEL Z48+C medium.jpg

Z = Z⁴⁸ + C
Archivo:MANDEL Z48+C detall.jpg

Z = Z⁴⁸ + C
x 20
Archivo:MANDEL Z96+C medium.jpg

Z = Z⁹⁶ + C
Archivo:MANDEL Z96+C detall.jpg

Z = Z⁹⁶ + C
x 40

Tal y como se puede ver en los ejemplos representados, el número de lóbulos es L = m - 1

Un breve viaje a las profundidades del fractal de Mandelbrot Z = Z² + C

A continuación vamos a adentrarnos en el fractal clásico de Mandelbrot, utilizando el microscopio de altísima resolución que nos proporciona el cálculo iterativo. Todas las ampliaciones vienen precedidas de una imagen del fractal a escala 1:1 en donde podemos apreciar la zona ampliada.^[11]

Ampliación zona 1

Centro de coordenadas : Cx = 0.291811 , Cy = 0.0144686

Archivo:MANDEL Z2 X1 001.jpg

x 1
Archivo:MANDEL Z2 X732 0,291811 0,0144686.jpg

x 732

Ampliación zona 2

Centro de coordenadas : Cx = -0.165643411 , Cy = 0.656685704

Archivo:MANDEL Z2 X1 002.jpg

x 1
Archivo:MANDEL Z2 X3855 -0,165643411 0,656685704.jpg

x 3855

Ampliación zona 3

Centro de coordenadas : Cx = -0.755625 , Cy = 0.06328125

Archivo:MANDEL Z2 X1 003.jpg

x 1
Archivo:MANDEL Z2 X180 -0,755625 0,06328125.jpg

x 180

Ampliación zona 4

Centro de coordenadas : Cx = -0,1758752481899, Cy = 1,075392007
A continuación bajaremos a gran profundidad, con una ampliación de más de 2 millones y con un número máximo de 6000 iteraciones por pixel !

Archivo:MANDEL Z2 X1 004.jpg

x 1
Archivo:MANDEL Z2 X2369369 -0,1758752481899 1,075392007.jpg

x 2,369,369

Ampliación zona XX

Centro de coordenadas : Cx = 0,02816835288421, Cy = 0,63790834667330
Ahora nos adentraremos en un sitio con extrañas formas y colores, pero donde pueden apreciarse perfectamente las formas del fractal de Mandelbrot...

Archivo:MANDEL Z2 X5598 0,02816835288421 0,63790834667330.jpg

x 5,598

Z = Z^-m + C

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot, con potencias negativas de Z.

Archivo:MANDEL Z-2+C medium.jpg

Z = Z ^-2 + C
Archivo:MANDEL Z-3+C medium.jpg

Z = Z ^-3 + C
Archivo:MANDEL Z-4+C medium.jpg

Z = Z ^-4 + C
Archivo:MANDEL Z-5+C medium.jpg

Z = Z ^-5 + C

Z = Z^p / (1 + Z^q) + C

Archivo:MANDEL Z2 (1+Z)+C medium.jpg

Z = Z² / (1 + Z) + C
Archivo:MANDEL Z3 (1+Z2)+C medium.jpg

Z = Z³ / (1 + Z²) + C
Archivo:MANDEL Z3 (1+Z)+C medium.jpg

Z = Z³ / (1 + Z) + C
Archivo:MANDEL Z3 (1+Z+Z2)+C medium.jpg

Z = Z³ / (1 + Z + Z²) + C
Archivo:MANDEL (1+2xZ) Z2+C medium.jpg

Z = [(1 + Z) / Z²] + C

Z = Z^m + C^p

Pero, ¿ qué pasa cuando hacemos Z = Z^m + C^p ?. Tal y como se puede ver en los siguientes ejemplos, el número de lóbulos es L = (m - 1) * p

Archivo:MANDEL Z2 C2.jpg

Z = Z² + C²
L = (2 - 1)* 2 = 2
Archivo:MANDEL Z2 C3.jpg

Z = Z² + C³
L = (2 - 1)* 3 = 3
Archivo:MANDEL Z2+C6-1.jpg

Z = Z²+C⁶ - 1
L = (2 - 1)* 6 = 6
Archivo:MANDEL Z3 C2.jpg

Z = Z³ + C²
L = (3 - 1)* 2 = 4
Archivo:MANDEL Z3 C3.jpg

Z = Z³ + C³
L = (3 - 1)* 3 = 6
Archivo:MANDEL Z4 C4.jpg

Z = Z⁴ + C⁴
L = (4 - 1)* 4 = 12

Z = Z^m + Z + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z^m + Z + C, según el método de Mandelbrot.

Archivo:MANDEL Z2+Z+C medium.jpg

Z = Z² + Z + C
Archivo:MANDEL Z3+Z+C medium.jpg

Z = Z³ + Z + C
Archivo:MANDEL Z4+Z+C medium.jpg

Z = Z⁴ + Z + C
Archivo:MANDEL Z9+Z+C medium.jpg

Z = Z⁹ + Z + C

Z = Z^m - Z + C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z^m - Z + C, según el método de Mandelbrot.

Archivo:MANDEL Z3-Z+C medium.jpg

Z = Z³ - Z + C
Archivo:MANDEL Z4-Z+C medium.jpg

Z = Z⁴ - Z + C
Archivo:MANDEL Z5-Z+C medium.jpg

Z = Z⁵ - Z + C
Archivo:MANDEL Z9-Z+C medium.jpg

Z = Z⁹ - Z + C

Z = Z^m + 1 / C^p

También se puede transformar cada punto del plano complejo, de acuerdo a una función arbitraria, antes de ser sumado a la función iterativa, según la siguiente ecuación Z = Z^m + F(C) . Veamos que pasa cuando la transformación es del tipo:F(C) = 1 / C

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Z^m + 1/C, donde cada punto C del plano complejo se transforma en 1 / C, antes de entrar en la iteración de la potencia de Z.
Zo = (0,0i). El número de vértices es V = (m - 1)

Archivo:MANDEL Z2 1 C.jpg

Z = Z² + 1/C
Archivo:MANDEL Z3+1 C medium.jpg

Z = Z³ + 1/C
Archivo:MANDEL Z4+1 C medium.jpg

Z = Z⁴ + 1/C
Archivo:MANDEL Z5+1 C medium.jpg

Z = Z⁵ + 1/C
Archivo:MANDEL Z6+1 C medium.jpg

Z = Z⁶ + 1/C
Archivo:MANDEL Z7+1 C mediumB.jpg

Z = Z⁷ + 1/C

Pero, qué pasa cuándo Z = Z^m + (1 / C²) ?. Pues algo muy parecido a lo que veíamos antes, ahora el número de vértices es V = (m - 1) * p

Archivo:MANDEL Z2 iC2.jpg

Z = Z² + 1 / C²
V = (2 - 1)* 2 = 2
Archivo:MANDEL Z3 iC2.jpg

Z = Z³ + 1 / C²
V = (3 - 1)* 2 = 4
Archivo:MANDEL Z4 iC2.jpg

Z = Z⁴ + 1 / C²
V = (4 - 1)* 2 = 6
Archivo:MANDEL Z5 iC2.jpg

Z = Z⁵ + 1 / C²
V = (5 - 1)* 2 = 8
Archivo:MANDEL Z6 iC2.jpg

Z = Z⁶ + 1 / C²
V = (6 - 1)* 2 = 10
Archivo:MANDEL Z7 iC2.jpg

Z = Z⁷ + 1 / C²
V = (7 - 1)* 2 = 12

Archivo:MANDEL Z2 iC3.jpg

Z = Z² + 1 / C³
V = (2 - 1)* 3 = 3
Archivo:MANDEL Z2 iC3+1.jpg

Z = Z² + 1 / (C³+1)
V = (2 - 1)* 3 = 3

Integrando en el mismo fractal una función de C y su inversa Z = Z^m + C i Z = Z^m + 1/C

La zona en color BLANCO intenso es el área de la intersección de los 2 sets.

Archivo:MANDEL Z2+C--Z2+1 C mediumB.jpg

Z = Z² + 1 / C
Z = Z² + C
Archivo:MANDEL Z3+C--Z2+1 C medium.jpg

Z = Z² + 1 / C
Z = Z³ + C
Archivo:MANDEL Z2+C--Z3+1 C medium.jpg

Z = Z³ + 1 / C
Z = Z² + C
Archivo:MANDEL Z3+C--Z3+1 C medium.jpg

Z = Z³ + 1 / C
Z = Z³ + C
Archivo:MANDEL Z4+C--Z4+1 C medium.jpg

Z = Z⁴ + 1 / C
Z = Z⁴ + C
Archivo:MANDEL Z3+C--Z4+1 C medium.jpg

Z = Z⁴ + 1 / C
Z = Z³ + C

Z = ( Z^m / C^m ) + C

Archivo:MANDEL (Z4 C4)+C medium.jpg

Z = (Z⁴ / C⁴) + C
Archivo:MANDEL (Z8 C8)+C medium.jpg

Z = (Z⁸ / C⁸) + C

Z = Z^m + C + C^p + 1/ C + 1/ C^q

También podemos añadir más sumandos a la función Z^m, combinando C, C^p, 1/C y 1/C^q en grupos de 2, 3 o 4, veamos que sucede si agrupamos C², 1/C y 1/C² de 2,3 o 4 formas ..:

Archivo:MANDEL Z2+C+C2 medium.jpg

Z = Z² + C + C²
Archivo:MANDEL Z2+C+1 C medium.jpg

Z = Z² + C + 1/C
Archivo:MANDEL Z2+C+1 C2 medium.jpg

Z = Z² + C + 1/C²
Archivo:MANDEL Z2+C2+1 C medium.jpg

Z = Z² + C²+ 1/C
Archivo:MANDEL Z2+C2+1 C2 medium.jpg

Z = Z² + C² + 1/C²
Archivo:MANDEL Z2+1 C+1 C2 medium.jpg

Z = Z² + 1/C + 1/ C²

Archivo:MANDEL Z2+C+C2+1 C medium.jpg

Z = Z² + C + C² + 1/C
Archivo:MANDEL Z2+C+C2+1 C2 medium.jpg

Z = Z² + C + C² + 1/C²
Archivo:MANDEL Z2+C+1 C+1 C2 mediumB.jpg

Z = Z² + C + 1/C + 1/C²
Archivo:MANDEL Z2+C2+1 C+1 C2 medium.jpg

Z = Z² + C² + 1/C + 1/C²
Archivo:MANDEL Z2+C+C2+1 C+1 C2 medium.jpg

Z = Z² + C + C² + 1/C + 1/C²

A continuación más combinaciones con otros exponentes:

Archivo:MANDEL Z2+C+1 C3 medium.jpg

Z = Z² + C + 1/ C³

Z = Z^m + polinomios de C

Podemos combinar diferentes potencias de C y/o Z sumándolas a Z^m , veamos qué sucede:

Archivo:MANDEL Z2+C (C2+1)+C medium.jpg

Z=Z² + C /(C²+1) + C
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+C (C2-1) medium.jpg

Z=Z² + C /(C²-1)
Zo = (0,0i)
Archivo:Z2 + C2 (C4+ 0,1).jpg

Z=Z² + C² /(C⁴ + 0.1)
Zo = (0,0i)
Archivo:Z2 + C2 (C4-0,25).jpg

Z=Z² + C² / (C⁴ - 0.25)
Zo = (0,0i)

El caso de la función: Z=Z² + 1 /(C^m-1)

Archivo:MANDEL Z2+1 (C2-1) medium.jpg

Z=Z² + 1 /(C²-1)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+1 (C3-1) medium.jpg

Z=Z² + 1 /(C³-1)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+1 (C4-1) medium.jpg

Z=Z² + 1 /(C⁴-1)
Zo = (0,0i)

Z = Z^m + polinomios mixtos de C i Z

Podemos sumar a Z^m polinomios mixtos de C i Z , veamos qué sucede:

Z = Z² + C/ (Z² + k)

Archivo:MANDEL Z2+C (Z2-0,001) medium.jpg

Z=Z² + C / (Z²- 0.001)
Zo = (0,0i) x 1000
Archivo:MANDEL Z2+C (Z2-0,01) medium.jpg

Z=Z² + C / (Z²- 0.01)
Zo = (0,0i) x 100
Archivo:MANDEL Z2+C (Z2-0,1) medium.jpg

Z=Z² + C / (Z²- 0.1)
Zo = (0,0i) x 10
Archivo:MANDEL Z2+C (Z2+0,1) medium.jpg

Z=Z² + C / (Z²+ 0.1)
Zo = (0,0i) x 10
Archivo:MANDEL Z2+C (Z2+0,01) medium.jpg

Z=Z² + C / (Z²+ 0.01)
Zo = (0,0i) x 100
Archivo:MANDEL Z2+C (Z2+0,001) medium.jpg

Z=Z² + C / (Z²+ 0.001)
Zo = (0,0i) x 24,900

Z = Z^m + C^p/Z^q + C

Archivo:Mandel Z2+C2 Z2+C medium.jpg

Z=Z² + (C² /Z²) + C
Zo = (0,0i) m=2, p=2,q=2
Archivo:MANDEL Z2+C4 Z2+C.jpg

Z=Z² + (C⁴ /Z²) + C
Zo = (0,0i) m=2,p=4,q=2
Archivo:Mandel Z2+C4 Z4+C medium.jpg

Z=Z² + (C⁴ /Z⁴) + C
Zo = (0,0i) m=2, p=4,q=4
Archivo:Mandel Z2+C6 Z6+C medium.jpg

Z=Z² + (C⁶ /Z⁶) + C
Zo = (0,0i) m=2, p=6,q=6
Archivo:Mandel Z4+C2 Z4+C.jpg

Z=Z⁴ + (C² /Z⁴) + C
Zo = (0,0i) m=4, p=2,q=4

Z= [(Z^m+C-1) / (m*Z^m-1+C- m)]²

Archivo:MANDEL MAGNET mediumB.jpg

Z= [(Z²+C-1) / (2*Z+C-2)]²
Zo = (0,0i) MAGNET
Archivo:MANDEL ((Z2+C2-1) (2XZ+C2-2))2 medium.jpg

Z= [(Z²+C²-1) / (2*Z+C² -2)]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z2+C3-1) (2XZ+C3-2))2 medium.jpg

Z= [(Z²+C³-1) / (2*Z+C³ -2)]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z3+C-1) (3XZ2+C-3))2 medium.jpg

Z= [(Z³+C-1) / (3*Z²+C-3)]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z4+C-1) (4XZ3+C-4))2 medium.jpg

Z= [(Z⁴+C-1) / (4*Z³+C-4)]²
Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m-1) / C^m]²

Archivo:MANDEL ((Z+C-1) (C+0))2 medium.jpg

Z= [(Z + C -1) / C]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C2-1) (C2+0))2 medium.jpg

Z= [(Z + C²-1) / C²]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C3-1) (C3+0))2 medium.jpg

Z= [(Z + C³-1) / C³]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C4-1) (C4+0))2 medium.jpg

Z= [(Z + C⁴-1) / C⁴]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C5-1) (C5))2 medium.jpg

Z= [(Z + C⁵-1) / C⁵]²
Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m-1) / C^m]³

Archivo:MANDEL ((Z+C-1) (C))3 medium.jpg

Z= [(Z + C-1) / C]³
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C2-1) (C2))3 medium.jpg

Z= [(Z + C²-1) / C²]³
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C3-1) (C3))3 medium.jpg

Z= [(Z + C³-1) / C³]³
Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m+1) / (C^m - 1)]²

Archivo:MANDEL ((Z+C+1) (C-1))2 medium.jpg

Z= [(Z + C +1) / (C -1]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C2+1) (C2-1))2 medium.jpg

Z= [(Z + C² +1) / (C² -1]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C3+1) (C3-1))2 medium.jpg

Z= [(Z + C³ +1) / (C³ -1]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C4+1) (C4-1))2 medium.jpg

Z= [(Z + C⁴ +1) / (C⁴ -1)]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C5+1) (C5-1))2 medium.jpg

Z= [(Z + C⁵ +1) / (C⁵ -1)]²
Zo = (0,0i)

Z= [(Z + C^m-1) / (C^m + 1)]²

Archivo:MANDEL ((Z+C-1) (C+1))2 medium.jpg

Z= [(Z + C -1) / (C +1]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C2-1) (C2+1))2 medium.jpg

Z= [(Z + C² -1) / (C² +1]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C3-1) (C3+1))2 medium.jpg

Z= [(Z + C³ -1) / (C³ +1]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C4-1) (C4+1))2 medium.jpg

Z= [(Z + C⁴ -1) / (C⁴ +1)]²
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ((Z+C5-1) (C5+1))2 medium.jpg

Z= [(Z + C⁵ -1) / (C⁵ +1)]²
Zo = (0,0i)

Otras combinaciones de Z y C

Archivo:mandel.jmb 001.jpg

Z=Z² + C² /(Z²+C) + C
Zo = (0,0i)

Más funciones de variable compleja

Pero existe una amplia variedad de funciones, en el dominio de los números complejos, que pueden ser iteradas según el método de Mandelbrot.
Voy a citar aquí algunos ejemplos, explicitando la parte real y la imaginaria:

Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(x), Exp(x) * Sin(y)i ]
Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Cos(Z) = [ Cos(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2) , -Sin(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
LN(Z) = [ 0.5 * Log(x * x + y * y) , Atn(y / x)i ]
SQR(Z) = [ (x * x + y * y)^0.25 * Cos(0.5 * Atn(y/x)) , (x * x + y * y)^0.25 * Sin(0.5 * Atn(y/x)) i ]
ATN(Z) = [PI / 4 - (1 / 2) * Atn((1 - x^2 - y^2) / (2 * x)), -(1 / 4) * Log((1 - x^2 - y^2) ^2 + 4 * x^2) + (1 / 2) * Log((1 + y) ^2 + x^2) i]

Z = Z^m + F(C)

A continuación algunos ejemplos de fractales por iteración de Z², pero transformando C según las funciones descritas anteriormente:

Archivo:MANDEL Z2+SIN(C) medium.jpg

Z=Z² + Sin(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+1 SIN(C) medium.jpg

Z=Z² + 1/Sin(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+SIN(C) medium.jpg

Z=Z² + Cos(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+1 SIN(C) medium.jpg

Z=Z² + 1/Cos(C)
Zo = (0,0i)

Archivo:MANDEL Z2+SINH(C) medium.jpg

Z=Z² + SinH(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+1 SINH(C) medium.jpg

Z=Z² + 1/SinH(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+COSH(C) medium.jpg

Z=Z² + CosH(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+1 COSH(C) medium.jpg

Z=Z² + 1/CosH(C)
Zo = (0,0i)

Archivo:MANDEL Z2+TAN(C) medium.jpg

Z=Z² + Tan(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+COTAN(C) medium.jpg

Z=Z² + CoTan(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+TANH(C) medium.jpg

Z=Z² + TanH(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+TANH(C) medium.jpg

Z=Z² + CoTanH(C)
Zo = (0,0i)

Archivo:MANDEL Z2+SIN(C) COSH(C) medium.jpg

Z=Z² + Sin(C)/CosH(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+COSH(C) SIN(C) medium.jpg

Z=Z² + CosH(C)/Sin(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+COS(C) SINH(C) medium.jpg

Z=Z² + Cos(C)/SinH(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+SINH(C) COS(C) medium.jpg

Z=Z² + SinH(C)/Cos(C)
Zo = (0,0i)

Archivo:MANDEL Z2+SIN(C) SINH(C) medium.jpg

Z=Z² + Sin(C)/SinH(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+SINH(C) SIN(C) medium.jpg

Z=Z² + SinH(C)/Sin(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+SIN(C) SINH(C) medium.jpg

Z=Z² + Cos(C)/CosH(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z2+SINH(C) SIN(C) medium.jpg

Z=Z² + CosH(C)/Cos(C)
Zo = (0,0i)

Archivo:MANDEL Z2+ATN(C) medium.jpg

Z= Z² + ATan(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL -0,5XZ2+SQR(C) medium.jpg

Z= -0.5*Z² + Sqr(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL -0,5XZ3+SQR(C) medium.jpg

Z= -0.5*Z³ + Sqr(C)
Zo = (0,0i)

Fractales por iteración de Exp(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

Como función iterativa

Archivo:MANDEL EXP(Z)+C.jpg

Z = Exp(Z)+ C
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL ZxExp(Z)+C medium.jpg

Z = Z * Exp(Z)+ C
Zo = (0,0i)

Como función transformadora de C

Archivo:MANDEL Z2+EXP(C).jpg

Z = Z² + Exp(C)
Zo = (0,0i)

Como función iterativa i transformadora de C, simultáneamente

Archivo:EXP(C3 Z3).jpg

Z = Exp(C³/Z³)
Zo = (0,0i)
Archivo:Mandel Exp( (Z^2+k3xZ) SQR(C^3)).jpg

Z = Exp[(Z²-1.00001*Z)/Sqr(C³)]
Zo = (0,0i)
Archivo:Mandel Exp( (Z^2+k3xZ) C^3) .jmb.jpg

Z = Exp[(Z²- 1.00001*Z)/C³]
Zo = (0,0i)

El caso de la función Z = Exp[(Z² + k * Z) / F(C^m)]

Esta función es muy sensible a Zo, y también al coeficiente (k) que multiplica a Z. Veamos algunos ejemplos interesantes:

Archivo:Mandel Exp( (Z^2+k3xZ) Sqr(C^3) ).jmb.jpg

Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C³)]
Zo = (1,1i) k = 1
Archivo:Mandel Exp((Z2-0,8Z) Sqr(C3)) medium.jpg

Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C³)]
Zo = (1,1i) k = -0.8
Archivo:MANDEL EXP(Z2 SQR(C7)) medium.jpg

Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C⁷)]
Zo = (1,1i) k = 0.0
Archivo:MANDEL EXP((Z2-0,8Z) SQR(C7)) medium.jpg

Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ Sqr(C⁷)]
Zo = (1,1i) k = -0.8
Archivo:MANDEL EXP((Z2+3Z) LN(C9)) medium.jpg

Z = Exp[(Z²+ k*Z)/ LN(C⁹)]
Zo = (1,1i) k = 3.0

El caso de la función Z_n+1 = Exp(Z_n / C ^m)

Archivo:MANDEL EXP(Z C) medium.jpg

Z = Exp(Z /C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL EXP(Z C2) medium.jpg

Z = Exp(Z /C²)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL EXP(Z C3) medium.jpg

Z = Exp(Z /C³)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL EXP(Z C4) medium.jpg

Z = Exp(Z /C⁴)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL EXP(Z C5) medium.jpg

Z = Exp(Z /C⁵)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL EXP(Z C6) medium.jpg

Z = Exp(Z /C⁶)
Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Exp(Z_n / C ^m) + C ^p

Archivo:MANDEL EXP(Z C6)+C3 medium.jpg

Z = Exp(Z /C⁶) + C ³
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL EXP(Z C8)+C4 medium.jpg

Z = Exp(Z /C⁸) + C ⁴
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL EXP(Z C8)+C2 medium.jpg

Z = Exp(Z /C⁸) + C ²
Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Exp(Z_n^p / C ^p)

Archivo:Mandel EXP(Z3 C3).jpg

Z = Exp(Z³/C³)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL EXP(Z4 C4).jpg

Z = Exp(Z⁴/C⁴)
Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Z_n^q * Exp(Z_n / C ^p) + C

Archivo:Mandel Z2xEXP(Z C)+C medium.jpg

Z = Z² * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i)
Archivo:Mandel Z3xEXP(Z C)+C medium.jpg

Z = Z³ * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i)
Archivo:Mandel Z4xEXP(Z C)+C medium.jpg

Z = Z⁴ * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i)
Archivo:Mandel Z5xEXP(Z C)+C medium.jpg

Z = Z⁵ * Exp(Z/C)+ C
Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Exp[ Z_n² / (C ^m + C ^p) ]

Aparece un número de lóbulos centrales = m, y un número de aristas exteriores = p, siendo m<p.

Archivo:Exp(Z2 (C5 + C)).jpg

Z = Exp[Z² / ( C⁵ + C )]
Zo = (0,0i)
Archivo:Mandel EXP( Z2 (C6+C3)).jpg

Z = Exp[Z² / ( C⁶ + C³ )]
Zo = (0,0i)
Archivo:Mandel EXP( Z2 (C8+C4)).jpg

Z = Exp[Z² / ( C⁸ + C⁴ )]
Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Z_n^m * Exp[ Cos(Z_n)] + 1/C

Aparecen un número de aristas = m.

Archivo:MANDEL Z2xExp(Cos(Z))+1 C medium.jpg

Z = Z²* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z3xExp(Cos(Z))+1 C medium.jpg

Z = Z³* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z4xExp(Cos(Z))+1 C medium.jpg

Z = Z⁴* Exp[ Cos(Z)] + 1/C
Zo = (0,0i)

Fractales per iteración de Sin(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) + Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de los puntos C = (Cx,Cyi), simultáneamente:

Como función iterativa

Como función transformadora de C

Archivo:MANDEL Z2+SIN(C) medium.jpg

Z = Z²+Sin(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z3+SIN(C) medium.jpg

Z = Z³+Sin(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z4+SIN(C) medium.jpg

Z = Z⁴+Sin(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z5+SIN(C) medium.jpg

Z = Z⁵+Sin(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z6+SIN(C) medium.jpg

Z = Z⁶+Sin(C)
Zo = (0,0i)

Archivo:MANDEL Z2+SIN(C2) medium.jpg

Z = Z²+Sin(C²)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z3+SIN(C2) medium.jpg

Z = Z³+Sin(C²)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL Z4+SIN(C2) medium.jpg

Z = Z⁴+Sin(C²)
Zo = (0,0i)

Como función iterativa y transformadora de C, simultáneamente

Archivo:MANDEL SIN(COSH(Z)xC3) medium.jpg

Z = Sin(CosH(Z)*C³)
Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Sin(Z_n * C ^m)

Archivo:MANDEL SIN(ZxSQR(C)) medium.jpg

Z = Sin(Z*C^0.5)
Zo = (1,0i)
Archivo:MANDEL SIN(ZxC) medium.jpg

Z = Sin(Z*C)
Zo = (1,0i)
Archivo:MANDEL SIN(ZxC2).jpg

Z = Sin(Z*C²)
Zo = (1,0i)
Archivo:MANDEL SIN(ZxC3).jpg

Z = Sin(Z*C³)
Zo = (1,0i)
Archivo:MANDEL SIN(ZxC10) medium.jpg

Z = Sin(Z*C¹⁰)
Zo = (1,0i)
Archivo:MANDEL SIN(SQR(Z)xC3) medium.jpg

Z = Sin(Z^0.5*C³)
Zo = (1,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Sin(Z_n / C ^m)

Archivo:MANDEL SIN(Z SQR(C)) medium.jpg

Z = Sin(Z/C^0.5)
Zo = (1,0i)
Archivo:MANDEL SIN(Z C) medium.jpg

Z = Sin(Z/C)
Zo = (1,0i)
Archivo:MANDEL SIN(Z C2) medium.jpg

Z = Sin(Z/C²)
Zo = (1,0i)
Archivo:MANDEL SIN(Z C3) medium.jpg

Z = Sin(Z/C³)
Zo = (1,0i)
Archivo:MANDEL SIN(Z C10) medium.jpg

Z = Sin(Z/C¹⁰)
Zo = (1,0i)

Fractales por iteración de Cos(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: ' Cos(Z) = [ Cos(x)*((Exp(y)+Exp(-y)) / 2), -Sin(x)*((Exp(y)-Exp(-y))/2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente

Como función iterativa

Archivo:MANDEL COS(Z)+1 C medium.jpg

Z = Cos(Z)+ 1/C
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL COS(Z)+LN(C) medium.jpg

Z = Cos(Z)+ LN(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL COS(Z3)+1 C.jpg

Z = Cos(Z³)+ 1/C
Zo = (0.2,0.3i)

Como función transformadora de C

Archivo:MANDEL Z2+COS(Z).jpg

Z = Z² + Cos( C)
Zo = (0,0i)

Como función iterativa y transformadora de C, simultáneamente

Archivo:MANDEL COS(Z)+COS(C) medium.jpg

Z = Cos(Z) + Cos(C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL COS(C Z) mediumB.jpg

Z = Cos(C/Z)
Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Cos(Z_n * C ^m)

Archivo:MANDEL COS(ZxSQR(C)) medium.jpg

Z = Cos(Z*C^0.5)
Zo = (0,0i)
Archivo:Mandel Cos(ZxC).jpg

Z = Cos(Z*C)
Zo = (0,0i)
Archivo:Mandel Cos(ZxC2).jpg

Z = Cos(Z*C²)
Zo = (0,0i)
Archivo:Mandel Cos(ZxC3).jmb.jpg

Z = Cos(Z*C³)
Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_n+1 = Cos(Z_n/C ^m)

Archivo:MANDEL COS(Z SQR(C)) medium.jpg

Z = Cos(Z/C^0.5)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL COS(Z C) medium.jpg

Z = Cos(Z/C)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL COS(Z C2) medium.jpg

Z = Cos(Z/C²)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL COS(Z C3) medium.jpg

Z = Cos(Z/C³)
Zo = (0,0i)
Archivo:MANDEL COS(Z C4) medium.jpg

Z = Cos(Z/C⁴)
Zo = (0,0i)

Fractales por iteración de SinH(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

Como función iterativa

Z = SinH(Z) + 1/C
Zo = (0.91, -0.08i)
Z = SinH(Z) + 1/C
Zo = (0.90, -0.05i)
Z = SinH(Z) + 1/C²
Zo = (1, 0.1i)
Z = SinH(Z²) + 1/C
Zo = (1, -1i)

Como función transformadora de C

Z = Z² + SinH(C)
Zo = (0,0i)
Z = Z² + SinH(1/ C³)
Zo = (0,0i)

Como función iterativa i transformadora de C, simultáneamente

Z = SinH(Z / C )
Zo = (0,1i)
Z = SinH(Z)/ C
Zo = (1,0i)

Fractales por iteración de CosH(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) + Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

Como función iterativa

Z = CosH(Z) + 1/C
Zo = (0,0i)
Z = CosH(Z²) + 1/C
Zo = (0,0i)
Z = CosH(Z³) + 1/C
Zo = (0,0i)
Z = CosH(Z⁴) + 1/C
Zo = (0,0i)
Z = CosH(Z⁵) + 1/C
Zo = (0,0i)

Fractales por iteración de combinaciones de diferentes funciones de Z

Z = SinH(Z) * Sin(Z) + C
Zo = (0,0i)
Z = CosH[Exp(Z²)]+ C
Zo = (0,0i)
Z = Exp(Z/C⁵)+ Ln(Z) + Z
Zo = (0,0i)

Más fractales según el método de Mandelbrot

Aquí se muestra un ejemplo de iteración de dos funciones F(X) y F(Y), por adición de cada uno de los puntos del plano C(X,Y), y la introducción de una tercera función F(Z) que desequilibra el punto de convergencia.
Xn+1 = Xn - Sin(Yn) + C(X) .. Yn+1 = Yn - Sin( Xn) + C(Y) .. Zn+1 = Zn - Cos( Xn + Yn)

references

Computer Methods and Borel Summability Applied to Feigenbaum's Equation By Jean Pierre Eckmann

Format Hardback | 297 pages, Publication date 01 May 1985, Publisher Springer , Publication City/Country United States , ISBN10 0387152156, ISBN13 9780387152158

http://mathoverflow.net/questions/157309/power-series-expansion-of-the-koenigs-function?rq=1
T. M. CHERRY, A singular case of iteration of analytic functions: A contribution to the small divisor problem. In: Nonlinear Problems of Engineering, W. F. AMES (Ed.), New York, 1964, 29–50.
Cherry, T. M., "A Singular Case of Iteration of Analytic Functions: A Contribution to the Small-Divisor Problem," in Nonlinear Problems of Engineering (edited by W. F. Ames), Academic Press, New York, 1964, 29-50.
MR178125 30.40 (57.48) Cherry, T. M. A singular case of iteration of analytic functions: A contribution to the small-divisor problem. 1964 Nonlinear Problems of Engineering pp. 29–50 Academic Press, New York

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↑ math SE question: is-the-basin-of-attraction-of-a-p-starshaped-wrt-to-p
↑ Why Category Theory Matters by Robb Seaton
↑ fractalforums.org : line-segments-intersecting-msets-how-often
↑ quora : Where-is-the-best-summary-on-the-meaning-of-the-terms-elliptic-hyperbolic-parabolic-as-used-in-different-disciplines-in-mathematics
↑ Vogel, H (1979). "A better way to construct the sunflower head". Mathematical Biosciences 44 (44): 179–189. doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4
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↑ Livio 2003, p. 112.
↑ Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990), "4", The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, pp. 101–107, ISBN 978-0-387-97297-8, http://algorithmicbotany.org/papers/#webdocs
↑ NEWTON’S METHOD ON THE COMPLEX EXPONENTIAL FUNCTION MAKO E. HARUTA
↑ Barnsley, M. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN 0-12-079062-9. (Cap 5)

[1] th SE question: is-the-basin-of-attraction-of-a-p-starshaped-wrt-to-p

[2] Why Category Theory Matters by Robb Seaton

[3] ractalforums.org : line-segments-intersecting-msets-how-often

[4] quora : Where-is-the-best-summary-on-the-meaning-of-the-terms-elliptic-hyperbolic-parabolic-as-used-in-different-disciplines-in-mathematics

[5] Vogel, H (1979). "A better way to construct the sunflower head". Mathematical Biosciences 44 (44): 179–189. doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4

[6] Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag. pp. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8. http://algorithmicbotany.org/papers/#webdocs.

[7] Vogel, Helmut (1979), "A better way to construct the sunflower head", Mathematical Biosciences 44 (3–4): 179–89, doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4

[FOOTNOTELivio2003112-8] Livio 2003, p. 112.

[9] Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990), "4", The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, pp. 101–107, ISBN 978-0-387-97297-8, http://algorithmicbotany.org/papers/#webdocs

[10] NEWTON’S METHOD ON THE COMPLEX EXPONENTIAL FUNCTION MAKO E. HARUTA

[11] Barnsley, M. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN 0-12-079062-9. (Cap 5)

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User:Adam majewski

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Vogel's mode

Algorithm

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intersection of polar curves

iteration

atan2

conformal

numerical conformal mapping=

Orthogonal

ellipse

sqare root

repeated

smooth curve from points

trace a curve

sketch a curve

boundary trace

level sets

tree

People

petal

example

cylinder

topology

Z = Zm + C

Un breve viaje a las profundidades del fractal de Mandelbrot Z = Z2 + C

Ampliación zona 1

Ampliación zona 2

Ampliación zona 3

Ampliación zona 4

Ampliación zona XX

Z = Z-m + C

Z = Zp / (1 + Zq) + C

Z = Zm + Cp

Z = Zm + Z + C

Z = Zm - Z + C

Z = Zm + 1 / Cp

Integrando en el mismo fractal una función de C y su inversa Z = Zm + C i Z = Zm + 1/C

Z = ( Zm / Cm ) + C

Z = Zm + C + Cp + 1/ C + 1/ Cq

Z = Zm + polinomios de C

El caso de la función: Z=Z2 + 1 /(Cm-1)

Z = Zm + polinomios mixtos de C i Z

Z = Z2 + C/ (Z2 + k)

Z = Zm + Cp/Zq + C

Z= [(Zm+C-1) / (m*Zm-1+C- m)]2

Z = Z^m + C

Un breve viaje a las profundidades del fractal de Mandelbrot Z = Z² + C

Z = Z^-m + C

Z = Z^p / (1 + Z^q) + C

Z = Z^m + C^p

Z = Z^m + Z + C

Z = Z^m - Z + C

Z = Z^m + 1 / C^p

Integrando en el mismo fractal una función de C y su inversa Z = Z^m + C i Z = Z^m + 1/C

Z = ( Z^m / C^m ) + C

Z = Z^m + C + C^p + 1/ C + 1/ C^q

Z = Z^m + polinomios de C

El caso de la función: Z=Z² + 1 /(C^m-1)

Z = Z^m + polinomios mixtos de C i Z

Z = Z² + C/ (Z² + k)

Z = Z^m + C^p/Z^q + C

Z= [(Z^m+C-1) / (m*Z^m-1+C- m)]²

Z= [(Z + C^m-1) / C^m]²

Z= [(Z + C^m-1) / C^m]³

Z= [(Z + C^m+1) / (C^m - 1)]²

Z= [(Z + C^m-1) / (C^m + 1)]²

Z = Z^m + F(C)

El caso de la función Z = Exp[(Z² + k * Z) / F(C^m)]

El caso de la función Z_n+1 = Exp(Z_n / C ^m)

El caso de la función Z_n+1 = Exp(Z_n / C ^m) + C ^p

El caso de la función Z_n+1 = Exp(Z_n^p / C ^p)

El caso de la función Z_n+1 = Z_n^q * Exp(Z_n / C ^p) + C

El caso de la función Z_n+1 = Exp[ Z_n² / (C ^m + C ^p) ]

El caso de la función Z_n+1 = Z_n^m * Exp[ Cos(Z_n)] + 1/C

El caso de la función Z_n+1 = Sin(Z_n * C ^m)

El caso de la función Z_n+1 = Sin(Z_n / C ^m)

El caso de la función Z_n+1 = Cos(Z_n * C ^m)

El caso de la función Z_n+1 = Cos(Z_n/C ^m)