User:Germany Poul Ah/sandbox

Formeln

Volumen

[[Datei:Parallelepiped-v.svg|mini|hochkant=1.4|Ein Parallelepiped wird von 3 Vektoren erzeugt.]]

Stellt man diese 3 an einer Ecke zusammentreffende Kanten als Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelepipeds aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalarprodukt und Kreuzprodukt). Das Volumen $V$ ist das Produkt der Grundfläche $G$ (Parallelogramm) und der Höhe $h$ des Parallelepipeds. Mit $G=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin(\gamma )=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|$, wobei $\gamma$ der Winkel zwischen ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ ist, und der Höhe $h=|{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|$, wobei $\theta$ der Winkel zwischen ${\vec {c}}$ und dem Normalenvektor auf der Grundfläche ist, ergibt sich

${\begin{aligned}V&=G\cdot h=(|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin(\gamma ))\cdot |{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|\cdot |{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|\\&=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|\end{aligned}}$

Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt. Es kann als Determinante geschrieben werden. Für ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})^{T},\quad {\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T},\quad {\vec {c}}=(c_{1},c_{2},c_{3})^{T}$ ist das Volumen dann:

$V=\left|\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}\;\right|$

Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:

$V=a\cdot b\cdot c\cdot {\sqrt {1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}$

Dabei sind $\alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\quad \beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\quad \gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ die Winkel zwischen den Kanten und $a,b,c$ die Kantenlängen.

Der Nachweis dieser Formel lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei $M$ die 3x3-Matrix, deren Spaltenvektoren die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ sind. Dann gilt

${\begin{aligned}V^{2}&=(\det(M))^{2}=\det(M)\cdot \det(M)=\det(M^{T})\cdot \det(M)=\det(M^{T}\cdot M)\\&=\det {\begin{pmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{pmatrix}}=a^{2}\cdot b^{2}\cdot c^{2}\cdot (1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma ))\end{aligned}}$

Im letzten Schritt wurden die Gleichungen ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=a^{2},\quad {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}=b^{2},\quad {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=c^{2},\quad {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a\cdot b\cdot \cos(\gamma ),\quad {\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=a\cdot c\cdot \cos(\beta ),\quad {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=b\cdot c\cdot \cos(\alpha )$ benutzt.

Oberfläche

[[Datei:Parallelepipednetz.svg|mini|hochkant=1.4|Körpernetz eines Parallelepipeds]]

Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Seitenflächen, den 6 Parallelogrammen:

${\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|+|{\vec {a}}\times {\vec {c}}|+|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|\right)\\&=2\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma )+2\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta )+2\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha )\end{aligned}}$.

Flächenwinkel

In der Ecke, in der die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ zusammentreffen, liegen die Innenwinkel $\alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\quad \beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\quad \gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})$. Diese Ecke bildet zusammen mit den 3 benachbarten Ecken ein Tetraeder. Betrachtet man die Umkugel dieses Tetraeders, dann gilt nach dem Kosinussatz für Kugeldreiecke die Gleichung

$\cos(\alpha )=\cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )+\sin(\beta )\cdot \sin(\gamma )\cdot \cos(\beta _{a})$

Dabei ist $\beta _{a}$ der Flächenwinkel zwischen den beiden Seitenflächen, die am Vektor ${\vec {a}}$ liegen.

Daraus folgt

$\beta _{a}=\arccos \left({\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )}{\sin(\beta )\cdot \sin(\gamma )}}\right)$

Die Flächenwinkel $\beta _{b}$ und $\beta _{c}$ ergeben sich entsprechend.

Raumwinkel

Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.

Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln $\alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\quad \beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\quad \gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ liegt, gilt

${\begin{aligned}\Omega _{1}&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha -\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha +\beta -\gamma }{4}}\right)}}\right)\end{aligned}}$

wobei $\theta _{s}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}$, $\theta _{a}=\alpha$, $\theta _{b}=\beta$ und $\theta _{c}=\gamma$ ist.

Zwei diagonal gegenüber liegende Raumwinkel in Ecken des Parallelepipeds sind jeweils gleich, weil die 3 anliegenden Innenwinkel gleich sind. Die anderen drei Raumwinkel ergeben sich für

• $\theta _{a}=\alpha ,\quad \theta _{b}=180^{\circ }-\beta ,\quad \theta _{c}=180^{\circ }-\gamma$
• $\theta _{a}=180^{\circ }-\alpha ,\quad \theta _{b}=\beta ,\quad \theta _{c}=180^{\circ }-\gamma$
• $\theta _{a}=180^{\circ }-\alpha ,\quad \theta _{b}=180^{\circ }-\beta ,\quad \theta _{c}=\gamma$

Tabelle: Zusammenfassung

Größen eines Parallelepipeds mit den Kantenlängen a, b, c und den Innenwinkeln $\alpha$, $\beta$, $\gamma$
Parallelelepiped
Volumen	$V=a\cdot b\cdot c\cdot {\sqrt {1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}$
Oberflächeninhalt	$A=2\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma )+2\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta )+2\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha )$
Höhe	$h={\frac {a}{\sin(\alpha )}}\cdot {\sqrt {1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}$
Raumdiagonale $|{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|$	$d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma )+2\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta )+2\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha )}}$
Winkel zwischen benachbarten Flächen	$\beta _{a}=\arccos \left({\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )}{\sin(\beta )\cdot \sin(\gamma )}}\right)$
Raumwinkel in den Ecken	$\Omega _{1}=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {-\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {\alpha -\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {\alpha +\beta -\gamma }{4}}\right)}}\right)$