# User:Andregonz

Derive:${\displaystyle \ f(x)=5x-8:[itex]\ lim_{h\to 0}{\frac {5(x+h)-8-(5x-8)}{h}}}$

${\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {5x+5h-8-5x+8}{h}}}$
${\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {5h}{h}}}$
${\displaystyle \ 5}$

Determine la derivada en x:(libro purcell)

${\displaystyle \ f(x)=ax^{2}+bx+c}$
${\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {a(x+h)^{2}+b(x+h)+c-(ax^{2}+bx+c)}{h}}}$
${\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {a(x^{2}+2xh+h^{2})+bx+bh+c-ax^{2}-bx-c}{h}}}$
${\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {ax^{2}+2axh+ah^{2}+bx+bh+c-ax^{2}-bx-c}{h}}}$
${\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {h(2ax+ah+b)}{h}}}$
${\displaystyle \ 2ax+b}$

Derive::${\displaystyle \ x^{3}+5x^{2}+6x+4}$

${\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {(x+h)^{3}+5(x+h)^{2}+6(x+h)+4-(x^{3}+5x^{2}+6x+4)}{h}}}$
${\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+5x^{2}+10xh+5h^{2}+6x+6h+4-x^{3}-5x^{2}-6x-4}{h}}}$
${\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {3x^{2}h+3xh^{2}+6h^{2}+10xh+6h}{h}}}$
${\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {h(3x^{2}+3xh+6h+10x)}{h}}}$
=${\displaystyle \ 3x^{2}+10x+6}$

Derive implícitamente:

${\displaystyle \ y=(4-5x)^{4}}$
${\displaystyle \ 4(4-5x)^{3}(-5)}$
=${\displaystyle \ -20(4-5x)^{3}}$

encuentre y':

${\displaystyle \ y=(3-6x^{3})^{8}}$
${\displaystyle \ y'=8(3-6x^{3})^{7}(3-6x^{3})}$
${\displaystyle \ y'=8(3-6x^{3})^{7}(-18x^{2})}$

Encuentre y':

${\displaystyle \ y=(x^{3}-3x+2)^{9}}$
${\displaystyle \ y'=9(x^{3}-3x+2)^{8}(x^{3}-3x+2)}$
${\displaystyle \ y'=9(x^{3}-3x+2)^{8}(3x^{2}-3)}$

Encuentre y':

${\displaystyle \ y=sen^{4}(13x)}$
${\displaystyle \ y=[sen(13x)]^{4}}$
${\displaystyle \ y'=4[sen(13x)]^{3}[sen(13x)]}$
${\displaystyle \ y'=4[sen(13x)]^{3}[cos(13x)](13x)}$
${\displaystyle \ y'=4[sen(13x)]^{3}[cos(13x)](13)}$
${\displaystyle \ y'=52cos(13x)sen^{3}(13x)}$

(calculo purcell) 44)Derive:${\displaystyle \ y=sen^{3}(cost)}$

${\displaystyle \ y=[sen(cost)]^{3}}$
${\displaystyle \ y'=3[sen(cost)]^{2}[sen(cost)]}$
${\displaystyle \ y'=3[sen(cost)]^{2}[cos(cost)](cost)}$
${\displaystyle \ y'=3[sen(cost)]^{2}[cos(cost)](-sent)}$
${\displaystyle \ y'=-3sentsen^{2}(cost)cos(cost)]}$

45)Derive:

${\displaystyle \ y=sen^{5}(x^{3}+5x)}$
${\displaystyle \ y=[sen(x^{3}+5x)]^{5}}$
${\displaystyle \ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[sen(x^{3}+5x)]}$
${\displaystyle \ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[cos(x^{3}+5x)](x^{3}+5x)}$
${\displaystyle \ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[cos(x^{3}+5x)](3x^{2}+5)}$
${\displaystyle \ y'=5(3x^{2}+5)sen^{4}(x^{3}+5x)cos(x^{3}+5x)}$

46)Derive:${\displaystyle \ 4x^{3}+7xy^{2}=2y^{3}}$

${\displaystyle \ 4x^{3}+7xy^{2}=2y^{3}}$
${\displaystyle \ 12x^{2}+7x2yy'+7y^{2}=6y^{2}y'}$
${\displaystyle \ 7x2yy'-6y^{2}y'=-7y^{2}-12x^{2}}$
${\displaystyle \ y'(14xy-6y^{2})=-7y^{2}-12x^{2}}$
${\displaystyle \ y'={\frac {-7y^{2}-12x^{2}}{14xy-6y^{2}}}}$
${\displaystyle \ y'={\frac {7y^{2}+12x^{2}}{6y^{2}-14xy}}}$

47)Derive:${\displaystyle \ 9x^{2}+12y^{2}=32}$

${\displaystyle \ 18x+24yy'=0}$
${\displaystyle \ 24yy'=-18x}$
${\displaystyle \ y'={\frac {-18x}{24y}}}$
${\displaystyle \ y'={\frac {-3x}{4y}}}$

48)Derive:${\displaystyle \ xy+5x^{2}-8y^{3}=1}$

${\displaystyle \ xy'+y+10x-24y^{2}y'=0}$
${\displaystyle \ xy'-24y^{2}y'=-y-10x}$
${\displaystyle \ y'(x-24y^{2})=-y-10x}$
${\displaystyle \ y'={\frac {-y-10x}{x-24y^{2}}}}$
${\displaystyle \ y'={\frac {y+10x}{24y^{2}-x}}}$

1)(purcell 3.9)Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0.02 pulgadas por segundo.¿Con qué rapidez aumenta el área de una de sus caras, cuando su radio es de 8.1 pulgadas?

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=0.02}$

${\displaystyle {\frac {da}{dt}}=?/r=8.1p}$

La fórmula que nos permite llevar a cabo este ejercicio es: ${\displaystyle \ A=Pir^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=2Pir{\frac {dr}{dt}}}$

reemplazo los valores conocidos, en la fórmula obtenida al derivar:

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=2(3.14)(8.1)(0.02)}$
${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=1.01{\frac {p^{2}}{s}}}$

(purcell 3.9)De un tubo sale arena a razon de 16 pies cúbicos por segundo. Si la arena al caer forma un montón cónico en el piso, cuya altura siempre es 1/4 del diámetro de la base. Qué tan rápido aumenta la altura cuando el montón es de 4 pies de altura?

El volúmen del cono de arena es:

${\displaystyle \ V={\frac {pir^{2}h}{3}}}$

h(t)= Altura del cono de arena en el instante t r(t)= Radio del circulo de la base del cono de arena v(t)=volumen del cono de arena ${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=?/h=4pies}$

${\displaystyle {\frac {V(t)}{d(t)}}=16p^{3}}$

La fórmula para el volúmen del cono, tiene una variable no deseada r; no es deseada puesto que no conocemos su razón dr/dt. entonces lo dejamos en un variable conocida:

sabemos que el diámetro es igual a decir 2r.

${\displaystyle \ h={\frac {1}{4}}diametro}$
${\displaystyle \ h={\frac {1}{2}}r}$
${\displaystyle \ 2h=r}$

Este resultado se reemplaza en la ecuación original.

${\displaystyle \ V={\frac {1\pi (2h)^{2}h}{3}}}$
${\displaystyle \ V={\frac {\pi 4h^{3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {4\pi }{3}}3h^{2}{\frac {dh}{dt}}}$
${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}{\frac {1}{4pih^{2}}}={\frac {dh}{dt}}}$
${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=16{\frac {1}{4\pi (4)^{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {p}{s}}}$

(purcell 3.9)Una escalera de 20 pies está recargada contra un edificio. Si la perte inferior de la escalera se desliza a lo largo del pavimento alejándose directamente del edificio a una velocidad de 1 pie por segundo, ¿Qué tan rápido está descendiendo el extremo superior la escalera, cuando cuando el pie de la escalera está a 5 pies de la pared?

S=20 pies (la longitud de la escalera se toma como un valor constante) h(t)= Altura de la pared x(t)= Distancia desde el pie de la escalera hasta la pared

La fórmula a ultilizar en este ejercicio es pitágoras:

${\displaystyle \ s^{2}=x^{2}+h^{2}}$
${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=1{\frac {p}{s}}}$
${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=?/x=5}$

se reemplazan los valores conocidos en la fórmula original.

${\displaystyle \ (20)^{2}=x^{2}+h^{2}}$

y se deriva:

${\displaystyle \ 0=2x{\frac {dx}{dt}}+2h{\frac {dh}{dt}}}$

Como no conocemos el valor de h, lo encontramos despejandolo de la fómula original:

${\displaystyle \ s^{2}-x^{2}=h^{2}}$
${\displaystyle \ (20)^{2}-(5)^{2}=h^{2}}$
${\displaystyle \ 400-25=h^{2}}$
${\displaystyle \ h=19,36}$

${\displaystyle \ -2x{\frac {dx}{dt}}=2h{\frac {dh}{dt}}}$
${\displaystyle \ -2(5)=2(19,36){\frac {dh}{dt}}}$
${\displaystyle {\frac {-10}{19,36}}={\frac {dh}{dt}}}$
${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=-0,25}$