Derive:
f
(
x
)
=
5
x
−
8
:<
m
a
t
h
>
l
i
m
h
→
0
5
(
x
+
h
)
−
8
−
(
5
x
−
8
)
h
{\displaystyle \ f(x)=5x-8:<math>\ lim_{h\to 0}{\frac {5(x+h)-8-(5x-8)}{h}}}
l
i
m
h
→
0
5
x
+
5
h
−
8
−
5
x
+
8
h
{\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {5x+5h-8-5x+8}{h}}}
l
i
m
h
→
0
5
h
h
{\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {5h}{h}}}
5
{\displaystyle \ 5}
Determine la derivada en x:(libro purcell)
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle \ f(x)=ax^{2}+bx+c}
l
i
m
h
→
0
a
(
x
+
h
)
2
+
b
(
x
+
h
)
+
c
−
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
h
{\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {a(x+h)^{2}+b(x+h)+c-(ax^{2}+bx+c)}{h}}}
l
i
m
h
→
0
a
(
x
2
+
2
x
h
+
h
2
)
+
b
x
+
b
h
+
c
−
a
x
2
−
b
x
−
c
h
{\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {a(x^{2}+2xh+h^{2})+bx+bh+c-ax^{2}-bx-c}{h}}}
l
i
m
h
→
0
a
x
2
+
2
a
x
h
+
a
h
2
+
b
x
+
b
h
+
c
−
a
x
2
−
b
x
−
c
h
{\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {ax^{2}+2axh+ah^{2}+bx+bh+c-ax^{2}-bx-c}{h}}}
l
i
m
h
→
0
h
(
2
a
x
+
a
h
+
b
)
h
{\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {h(2ax+ah+b)}{h}}}
2
a
x
+
b
{\displaystyle \ 2ax+b}
Derive::
x
3
+
5
x
2
+
6
x
+
4
{\displaystyle \ x^{3}+5x^{2}+6x+4}
l
i
m
h
→
0
(
x
+
h
)
3
+
5
(
x
+
h
)
2
+
6
(
x
+
h
)
+
4
−
(
x
3
+
5
x
2
+
6
x
+
4
)
h
{\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {(x+h)^{3}+5(x+h)^{2}+6(x+h)+4-(x^{3}+5x^{2}+6x+4)}{h}}}
l
i
m
h
→
0
x
3
+
3
x
2
h
+
3
x
h
2
+
h
3
+
5
x
2
+
10
x
h
+
5
h
2
+
6
x
+
6
h
+
4
−
x
3
−
5
x
2
−
6
x
−
4
h
{\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+5x^{2}+10xh+5h^{2}+6x+6h+4-x^{3}-5x^{2}-6x-4}{h}}}
l
i
m
h
→
0
3
x
2
h
+
3
x
h
2
+
6
h
2
+
10
x
h
+
6
h
h
{\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {3x^{2}h+3xh^{2}+6h^{2}+10xh+6h}{h}}}
l
i
m
h
→
0
h
(
3
x
2
+
3
x
h
+
6
h
+
10
x
)
h
{\displaystyle \ lim_{h\to 0}{\frac {h(3x^{2}+3xh+6h+10x)}{h}}}
=
3
x
2
+
10
x
+
6
{\displaystyle \ 3x^{2}+10x+6}
Derive implícitamente:
y
=
(
4
−
5
x
)
4
{\displaystyle \ y=(4-5x)^{4}}
4
(
4
−
5
x
)
3
(
−
5
)
{\displaystyle \ 4(4-5x)^{3}(-5)}
=
−
20
(
4
−
5
x
)
3
{\displaystyle \ -20(4-5x)^{3}}
encuentre y':
y
=
(
3
−
6
x
3
)
8
{\displaystyle \ y=(3-6x^{3})^{8}}
y
′
=
8
(
3
−
6
x
3
)
7
(
3
−
6
x
3
)
{\displaystyle \ y'=8(3-6x^{3})^{7}(3-6x^{3})}
y
′
=
8
(
3
−
6
x
3
)
7
(
−
18
x
2
)
{\displaystyle \ y'=8(3-6x^{3})^{7}(-18x^{2})}
Encuentre y':
y
=
(
x
3
−
3
x
+
2
)
9
{\displaystyle \ y=(x^{3}-3x+2)^{9}}
y
′
=
9
(
x
3
−
3
x
+
2
)
8
(
x
3
−
3
x
+
2
)
{\displaystyle \ y'=9(x^{3}-3x+2)^{8}(x^{3}-3x+2)}
y
′
=
9
(
x
3
−
3
x
+
2
)
8
(
3
x
2
−
3
)
{\displaystyle \ y'=9(x^{3}-3x+2)^{8}(3x^{2}-3)}
Encuentre y':
y
=
s
e
n
4
(
13
x
)
{\displaystyle \ y=sen^{4}(13x)}
y
=
[
s
e
n
(
13
x
)
]
4
{\displaystyle \ y=[sen(13x)]^{4}}
y
′
=
4
[
s
e
n
(
13
x
)
]
3
[
s
e
n
(
13
x
)
]
{\displaystyle \ y'=4[sen(13x)]^{3}[sen(13x)]}
y
′
=
4
[
s
e
n
(
13
x
)
]
3
[
c
o
s
(
13
x
)
]
(
13
x
)
{\displaystyle \ y'=4[sen(13x)]^{3}[cos(13x)](13x)}
y
′
=
4
[
s
e
n
(
13
x
)
]
3
[
c
o
s
(
13
x
)
]
(
13
)
{\displaystyle \ y'=4[sen(13x)]^{3}[cos(13x)](13)}
y
′
=
52
c
o
s
(
13
x
)
s
e
n
3
(
13
x
)
{\displaystyle \ y'=52cos(13x)sen^{3}(13x)}
(calculo purcell)
44)Derive:
y
=
s
e
n
3
(
c
o
s
t
)
{\displaystyle \ y=sen^{3}(cost)}
y
=
[
s
e
n
(
c
o
s
t
)
]
3
{\displaystyle \ y=[sen(cost)]^{3}}
y
′
=
3
[
s
e
n
(
c
o
s
t
)
]
2
[
s
e
n
(
c
o
s
t
)
]
{\displaystyle \ y'=3[sen(cost)]^{2}[sen(cost)]}
y
′
=
3
[
s
e
n
(
c
o
s
t
)
]
2
[
c
o
s
(
c
o
s
t
)
]
(
c
o
s
t
)
{\displaystyle \ y'=3[sen(cost)]^{2}[cos(cost)](cost)}
y
′
=
3
[
s
e
n
(
c
o
s
t
)
]
2
[
c
o
s
(
c
o
s
t
)
]
(
−
s
e
n
t
)
{\displaystyle \ y'=3[sen(cost)]^{2}[cos(cost)](-sent)}
y
′
=
−
3
s
e
n
t
s
e
n
2
(
c
o
s
t
)
c
o
s
(
c
o
s
t
)
]
{\displaystyle \ y'=-3sentsen^{2}(cost)cos(cost)]}
45)Derive:
y
=
s
e
n
5
(
x
3
+
5
x
)
{\displaystyle \ y=sen^{5}(x^{3}+5x)}
y
=
[
s
e
n
(
x
3
+
5
x
)
]
5
{\displaystyle \ y=[sen(x^{3}+5x)]^{5}}
y
′
=
5
[
s
e
n
(
x
3
+
5
x
)
]
4
[
s
e
n
(
x
3
+
5
x
)
]
{\displaystyle \ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[sen(x^{3}+5x)]}
y
′
=
5
[
s
e
n
(
x
3
+
5
x
)
]
4
[
c
o
s
(
x
3
+
5
x
)
]
(
x
3
+
5
x
)
{\displaystyle \ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[cos(x^{3}+5x)](x^{3}+5x)}
y
′
=
5
[
s
e
n
(
x
3
+
5
x
)
]
4
[
c
o
s
(
x
3
+
5
x
)
]
(
3
x
2
+
5
)
{\displaystyle \ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[cos(x^{3}+5x)](3x^{2}+5)}
y
′
=
5
(
3
x
2
+
5
)
s
e
n
4
(
x
3
+
5
x
)
c
o
s
(
x
3
+
5
x
)
{\displaystyle \ y'=5(3x^{2}+5)sen^{4}(x^{3}+5x)cos(x^{3}+5x)}
46)Derive:
4
x
3
+
7
x
y
2
=
2
y
3
{\displaystyle \ 4x^{3}+7xy^{2}=2y^{3}}
4
x
3
+
7
x
y
2
=
2
y
3
{\displaystyle \ 4x^{3}+7xy^{2}=2y^{3}}
12
x
2
+
7
x
2
y
y
′
+
7
y
2
=
6
y
2
y
′
{\displaystyle \ 12x^{2}+7x2yy'+7y^{2}=6y^{2}y'}
7
x
2
y
y
′
−
6
y
2
y
′
=
−
7
y
2
−
12
x
2
{\displaystyle \ 7x2yy'-6y^{2}y'=-7y^{2}-12x^{2}}
y
′
(
14
x
y
−
6
y
2
)
=
−
7
y
2
−
12
x
2
{\displaystyle \ y'(14xy-6y^{2})=-7y^{2}-12x^{2}}
y
′
=
−
7
y
2
−
12
x
2
14
x
y
−
6
y
2
{\displaystyle \ y'={\frac {-7y^{2}-12x^{2}}{14xy-6y^{2}}}}
y
′
=
7
y
2
+
12
x
2
6
y
2
−
14
x
y
{\displaystyle \ y'={\frac {7y^{2}+12x^{2}}{6y^{2}-14xy}}}
47)Derive:
9
x
2
+
12
y
2
=
32
{\displaystyle \ 9x^{2}+12y^{2}=32}
18
x
+
24
y
y
′
=
0
{\displaystyle \ 18x+24yy'=0}
24
y
y
′
=
−
18
x
{\displaystyle \ 24yy'=-18x}
y
′
=
−
18
x
24
y
{\displaystyle \ y'={\frac {-18x}{24y}}}
y
′
=
−
3
x
4
y
{\displaystyle \ y'={\frac {-3x}{4y}}}
48)Derive:
x
y
+
5
x
2
−
8
y
3
=
1
{\displaystyle \ xy+5x^{2}-8y^{3}=1}
x
y
′
+
y
+
10
x
−
24
y
2
y
′
=
0
{\displaystyle \ xy'+y+10x-24y^{2}y'=0}
x
y
′
−
24
y
2
y
′
=
−
y
−
10
x
{\displaystyle \ xy'-24y^{2}y'=-y-10x}
y
′
(
x
−
24
y
2
)
=
−
y
−
10
x
{\displaystyle \ y'(x-24y^{2})=-y-10x}
y
′
=
−
y
−
10
x
x
−
24
y
2
{\displaystyle \ y'={\frac {-y-10x}{x-24y^{2}}}}
y
′
=
y
+
10
x
24
y
2
−
x
{\displaystyle \ y'={\frac {y+10x}{24y^{2}-x}}}
1)(purcell 3.9)Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0.02 pulgadas por segundo.¿Con qué rapidez aumenta el área de una de sus caras, cuando su radio es de 8.1 pulgadas?
d
r
d
t
=
0.02
{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=0.02}
d
a
d
t
=
?
/
r
=
8.1
p
{\displaystyle {\frac {da}{dt}}=?/r=8.1p}
La fórmula que nos permite llevar a cabo este ejercicio es:
A
=
P
i
r
2
{\displaystyle \ A=Pir^{2}}
d
A
d
t
=
2
P
i
r
d
r
d
t
{\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=2Pir{\frac {dr}{dt}}}
reemplazo los valores conocidos, en la fórmula obtenida al derivar:
d
A
d
t
=
2
(
3.14
)
(
8.1
)
(
0.02
)
{\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=2(3.14)(8.1)(0.02)}
d
A
d
t
=
1.01
p
2
s
{\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=1.01{\frac {p^{2}}{s}}}
(purcell 3.9)De un tubo sale arena a razon de 16 pies cúbicos por segundo. Si la arena al caer forma un montón cónico en el piso, cuya altura siempre es 1/4 del diámetro de la base. Qué tan rápido aumenta la altura cuando el montón es de 4 pies de altura?
El volúmen del cono de arena es:
V
=
p
i
r
2
h
3
{\displaystyle \ V={\frac {pir^{2}h}{3}}}
h(t)= Altura del cono de arena en el instante t
r(t)= Radio del circulo de la base del cono de arena
v(t)=volumen del cono de arena
d
h
d
t
=
?
/
h
=
4
p
i
e
s
{\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=?/h=4pies}
V
(
t
)
d
(
t
)
=
16
p
3
{\displaystyle {\frac {V(t)}{d(t)}}=16p^{3}}
La fórmula para el volúmen del cono, tiene una variable no deseada r; no es deseada puesto que no conocemos su razón dr/dt. entonces lo dejamos en un variable conocida:
sabemos que el diámetro es igual a decir 2r.
h
=
1
4
d
i
a
m
e
t
r
o
{\displaystyle \ h={\frac {1}{4}}diametro}
h
=
1
2
r
{\displaystyle \ h={\frac {1}{2}}r}
2
h
=
r
{\displaystyle \ 2h=r}
Este resultado se reemplaza en la ecuación original.
V
=
1
π
(
2
h
)
2
h
3
{\displaystyle \ V={\frac {1\pi (2h)^{2}h}{3}}}
V
=
π
4
h
3
3
{\displaystyle \ V={\frac {\pi 4h^{3}}{3}}}
d
v
d
t
=
4
π
3
3
h
2
d
h
d
t
{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {4\pi }{3}}3h^{2}{\frac {dh}{dt}}}
d
v
d
t
1
4
p
i
h
2
=
d
h
d
t
{\displaystyle {\frac {dv}{dt}}{\frac {1}{4pih^{2}}}={\frac {dh}{dt}}}
d
h
d
t
=
16
1
4
π
(
4
)
2
{\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=16{\frac {1}{4\pi (4)^{2}}}}
d
h
d
t
=
1
4
π
p
s
{\displaystyle {\frac {dh}{dt}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {p}{s}}}
(purcell 3.9)Una escalera de 20 pies está recargada contra un edificio. Si la perte inferior de la escalera se desliza a lo largo del pavimento alejándose directamente del edificio a una velocidad de 1 pie por segundo, ¿Qué tan rápido está descendiendo el extremo superior la escalera, cuando cuando el pie de la escalera está a 5 pies de la pared?
S=20 pies (la longitud de la escalera se toma como un valor constante)
h(t)= Altura de la pared
x(t)= Distancia desde el pie de la escalera hasta la pared
La fórmula a ultilizar en este ejercicio es pitágoras:
s
2
=
x
2
+
h
2
{\displaystyle \ s^{2}=x^{2}+h^{2}}
d
x
d
t
=
1
p
s
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=1{\frac {p}{s}}}
d
h
d
t
=
?
/
x
=
5
{\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=?/x=5}
se reemplazan los valores conocidos en la fórmula original.
(
20
)
2
=
x
2
+
h
2
{\displaystyle \ (20)^{2}=x^{2}+h^{2}}
y se deriva:
0
=
2
x
d
x
d
t
+
2
h
d
h
d
t
{\displaystyle \ 0=2x{\frac {dx}{dt}}+2h{\frac {dh}{dt}}}
Como no conocemos el valor de h, lo encontramos despejandolo de la fómula original:
s
2
−
x
2
=
h
2
{\displaystyle \ s^{2}-x^{2}=h^{2}}
(
20
)
2
−
(
5
)
2
=
h
2
{\displaystyle \ (20)^{2}-(5)^{2}=h^{2}}
400
−
25
=
h
2
{\displaystyle \ 400-25=h^{2}}
h
=
19
,
36
{\displaystyle \ h=19,36}
Ahora el resultado se reemplaza:
−
2
x
d
x
d
t
=
2
h
d
h
d
t
{\displaystyle \ -2x{\frac {dx}{dt}}=2h{\frac {dh}{dt}}}
−
2
(
5
)
=
2
(
19
,
36
)
d
h
d
t
{\displaystyle \ -2(5)=2(19,36){\frac {dh}{dt}}}
−
10
19
,
36
=
d
h
d
t
{\displaystyle {\frac {-10}{19,36}}={\frac {dh}{dt}}}
d
h
d
t
=
−
0
,
25
{\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=-0,25}
El signo negativo indica que el cambio de h con respecto de t va disminuyendo.
![{\displaystyle \ y=[sen(13x)]^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbde9ad0b848527b4b5a9823c184c1274689e4de)
![{\displaystyle \ y'=4[sen(13x)]^{3}[sen(13x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf70fe9a811801bb7a52302942aa80730a35c95)
![{\displaystyle \ y'=4[sen(13x)]^{3}[cos(13x)](13x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d640e510fb1e207f8b9279f13dea17f2221c15)
![{\displaystyle \ y'=4[sen(13x)]^{3}[cos(13x)](13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae8ea040d54dec5de7563846aff7af4d1c16dbf)
![{\displaystyle \ y=[sen(cost)]^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf34089e93d772983a51082d57304a38ed30b75)
![{\displaystyle \ y'=3[sen(cost)]^{2}[sen(cost)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76aeeffd00bc5e739526bcd21128c819ceb055b5)
![{\displaystyle \ y'=3[sen(cost)]^{2}[cos(cost)](cost)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047b089e8e99558037feba29417a79afe1351380)
![{\displaystyle \ y'=3[sen(cost)]^{2}[cos(cost)](-sent)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5c5dfd424c375b42eacfbdf924283b35c69a58)
![{\displaystyle \ y'=-3sentsen^{2}(cost)cos(cost)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604efad67cc47325d197768852a3ddb89a371df8)
![{\displaystyle \ y=[sen(x^{3}+5x)]^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1b99957db62a2295fc423b9e35b1f7311bb00c)
![{\displaystyle \ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[sen(x^{3}+5x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7d3b565dd33086082da5517506c2dd0f24176b)
![{\displaystyle \ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[cos(x^{3}+5x)](x^{3}+5x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab4725f2463827bfc55f62f4f8df6e3ccff76cd)
![{\displaystyle \ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[cos(x^{3}+5x)](3x^{2}+5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/296c8569df3492db911f56f6fe32850c5e93d0c8)
