User:Andregonz

Derive:$\ f(x)=5x-8:<math>\ lim_{h\to 0}{\frac {5(x+h)-8-(5x-8)}{h}}$

$\ lim_{h\to 0}{\frac {5x+5h-8-5x+8}{h}}$

$\ lim_{h\to 0}{\frac {5h}{h}}$

$\ 5$

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Determine la derivada en x:(libro purcell)

$\ f(x)=ax^{2}+bx+c$

$\ lim_{h\to 0}{\frac {a(x+h)^{2}+b(x+h)+c-(ax^{2}+bx+c)}{h}}$

$\ lim_{h\to 0}{\frac {a(x^{2}+2xh+h^{2})+bx+bh+c-ax^{2}-bx-c}{h}}$

$\ lim_{h\to 0}{\frac {ax^{2}+2axh+ah^{2}+bx+bh+c-ax^{2}-bx-c}{h}}$

$\ lim_{h\to 0}{\frac {h(2ax+ah+b)}{h}}$

$\ 2ax+b$

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Derive::$\ x^{3}+5x^{2}+6x+4$

$\ lim_{h\to 0}{\frac {(x+h)^{3}+5(x+h)^{2}+6(x+h)+4-(x^{3}+5x^{2}+6x+4)}{h}}$

$\ lim_{h\to 0}{\frac {x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+5x^{2}+10xh+5h^{2}+6x+6h+4-x^{3}-5x^{2}-6x-4}{h}}$

$\ lim_{h\to 0}{\frac {3x^{2}h+3xh^{2}+6h^{2}+10xh+6h}{h}}$

$\ lim_{h\to 0}{\frac {h(3x^{2}+3xh+6h+10x)}{h}}$

=$\ 3x^{2}+10x+6$

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Derive implícitamente:

$\ y=(4-5x)^{4}$

$\ 4(4-5x)^{3}(-5)$

=$\ -20(4-5x)^{3}$

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encuentre y':

$\ y=(3-6x^{3})^{8}$

$\ y'=8(3-6x^{3})^{7}(3-6x^{3})$

$\ y'=8(3-6x^{3})^{7}(-18x^{2})$

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Encuentre y':

$\ y=(x^{3}-3x+2)^{9}$

$\ y'=9(x^{3}-3x+2)^{8}(x^{3}-3x+2)$

$\ y'=9(x^{3}-3x+2)^{8}(3x^{2}-3)$

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Encuentre y':

$\ y=sen^{4}(13x)$

$\ y=[sen(13x)]^{4}$

$\ y'=4[sen(13x)]^{3}[sen(13x)]$

$\ y'=4[sen(13x)]^{3}[cos(13x)](13x)$

$\ y'=4[sen(13x)]^{3}[cos(13x)](13)$

$\ y'=52cos(13x)sen^{3}(13x)$

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(calculo purcell) 44)Derive:$\ y=sen^{3}(cost)$

$\ y=[sen(cost)]^{3}$

$\ y'=3[sen(cost)]^{2}[sen(cost)]$

$\ y'=3[sen(cost)]^{2}[cos(cost)](cost)$

$\ y'=3[sen(cost)]^{2}[cos(cost)](-sent)$

$\ y'=-3sentsen^{2}(cost)cos(cost)]$

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45)Derive:

$\ y=sen^{5}(x^{3}+5x)$

$\ y=[sen(x^{3}+5x)]^{5}$

$\ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[sen(x^{3}+5x)]$

$\ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[cos(x^{3}+5x)](x^{3}+5x)$

$\ y'=5[sen(x^{3}+5x)]^{4}[cos(x^{3}+5x)](3x^{2}+5)$

$\ y'=5(3x^{2}+5)sen^{4}(x^{3}+5x)cos(x^{3}+5x)$

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46)Derive:$\ 4x^{3}+7xy^{2}=2y^{3}$

$\ 4x^{3}+7xy^{2}=2y^{3}$

$\ 12x^{2}+7x2yy'+7y^{2}=6y^{2}y'$

$\ 7x2yy'-6y^{2}y'=-7y^{2}-12x^{2}$

$\ y'(14xy-6y^{2})=-7y^{2}-12x^{2}$

$\ y'={\frac {-7y^{2}-12x^{2}}{14xy-6y^{2}}}$

$\ y'={\frac {7y^{2}+12x^{2}}{6y^{2}-14xy}}$

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47)Derive:$\ 9x^{2}+12y^{2}=32$

$\ 18x+24yy'=0$

$\ 24yy'=-18x$

$\ y'={\frac {-18x}{24y}}$

$\ y'={\frac {-3x}{4y}}$

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48)Derive:$\ xy+5x^{2}-8y^{3}=1$

$\ xy'+y+10x-24y^{2}y'=0$

$\ xy'-24y^{2}y'=-y-10x$

$\ y'(x-24y^{2})=-y-10x$

$\ y'={\frac {-y-10x}{x-24y^{2}}}$

$\ y'={\frac {y+10x}{24y^{2}-x}}$

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1)(purcell 3.9)Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0.02 pulgadas por segundo.¿Con qué rapidez aumenta el área de una de sus caras, cuando su radio es de 8.1 pulgadas?

${\frac {dr}{dt}}=0.02$

${\frac {da}{dt}}=?/r=8.1p$

La fórmula que nos permite llevar a cabo este ejercicio es: $\ A=Pir^{2}$

${\frac {dA}{dt}}=2Pir{\frac {dr}{dt}}$

reemplazo los valores conocidos, en la fórmula obtenida al derivar:

${\frac {dA}{dt}}=2(3.14)(8.1)(0.02)$

${\frac {dA}{dt}}=1.01{\frac {p^{2}}{s}}$

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(purcell 3.9)De un tubo sale arena a razon de 16 pies cúbicos por segundo. Si la arena al caer forma un montón cónico en el piso, cuya altura siempre es 1/4 del diámetro de la base. Qué tan rápido aumenta la altura cuando el montón es de 4 pies de altura?

El volúmen del cono de arena es:

$\ V={\frac {pir^{2}h}{3}}$

h(t)= Altura del cono de arena en el instante t r(t)= Radio del circulo de la base del cono de arena v(t)=volumen del cono de arena ${\frac {dh}{dt}}=?/h=4pies$

${\frac {V(t)}{d(t)}}=16p^{3}$

La fórmula para el volúmen del cono, tiene una variable no deseada r; no es deseada puesto que no conocemos su razón dr/dt. entonces lo dejamos en un variable conocida:

sabemos que el diámetro es igual a decir 2r.

$\ h={\frac {1}{4}}diametro$

$\ h={\frac {1}{2}}r$

$\ 2h=r$

Este resultado se reemplaza en la ecuación original.

$\ V={\frac {1\pi (2h)^{2}h}{3}}$

$\ V={\frac {\pi 4h^{3}}{3}}$

${\frac {dv}{dt}}={\frac {4\pi }{3}}3h^{2}{\frac {dh}{dt}}$

${\frac {dv}{dt}}{\frac {1}{4pih^{2}}}={\frac {dh}{dt}}$

${\frac {dh}{dt}}=16{\frac {1}{4\pi (4)^{2}}}$

${\frac {dh}{dt}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {p}{s}}$

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(purcell 3.9)Una escalera de 20 pies está recargada contra un edificio. Si la perte inferior de la escalera se desliza a lo largo del pavimento alejándose directamente del edificio a una velocidad de 1 pie por segundo, ¿Qué tan rápido está descendiendo el extremo superior la escalera, cuando cuando el pie de la escalera está a 5 pies de la pared?

S=20 pies (la longitud de la escalera se toma como un valor constante) h(t)= Altura de la pared x(t)= Distancia desde el pie de la escalera hasta la pared

La fórmula a ultilizar en este ejercicio es pitágoras:

$\ s^{2}=x^{2}+h^{2}$

${\frac {dx}{dt}}=1{\frac {p}{s}}$

${\frac {dh}{dt}}=?/x=5$

se reemplazan los valores conocidos en la fórmula original.

$\ (20)^{2}=x^{2}+h^{2}$

y se deriva:

$\ 0=2x{\frac {dx}{dt}}+2h{\frac {dh}{dt}}$

Como no conocemos el valor de h, lo encontramos despejandolo de la fómula original:

$\ s^{2}-x^{2}=h^{2}$

$\ (20)^{2}-(5)^{2}=h^{2}$

$\ 400-25=h^{2}$

$\ h=19,36$

Ahora el resultado se reemplaza:

$\ -2x{\frac {dx}{dt}}=2h{\frac {dh}{dt}}$

$\ -2(5)=2(19,36){\frac {dh}{dt}}$

${\frac {-10}{19,36}}={\frac {dh}{dt}}$

${\frac {dh}{dt}}=-0,25$

El signo negativo indica que el cambio de h con respecto de t va disminuyendo.