Geometry/Five Postulates of Euclidean Geometry

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Les postulats en géométrie sont très semblables aux axiomes, aux vérités évidentes et aux croyances dans la logique, la philosophie politique et la prise de décision personnelle. Les cinq postulats de la géométrie euclidienne définissent les règles de base régissant la création et l'extension de figures géométriques avec règle et boussole. Ensemble avec les cinq axiomes (ou «notions communes») et vingt-trois définitions au début des éléments d'Euclide, ils forment la base des preuves étendues données dans cette compilation magistrale de la connaissance géométrique grecque antique. Ils sont comme suit:

Un segment de droite peut être tracé d'un point donné à un autre. Une ligne droite peut être étendue à n'importe quelle longueur finie. Un cercle peut être décrit avec n'importe quel point donné comme son centre et n'importe quelle distance comme son rayon. Tous les angles droits sont congrus. Si une ligne droite croise deux autres droites et fait ainsi moins de deux angles droits entre les deux angles intérieurs d'un côté, alors les autres droites se rencontreront à un point si elles sont assez éloignées du côté où les angles sont inférieurs à deux angles droits.

Postulat 5, le soi-disant postulat parallèle était la source de beaucoup d'ennuis, probablement même à Euclide, d'être si relativement prolixe. Les mathématiciens ont un sens particulier de l'esthétique qui valorise la simplicité découlant de la simplicité, avec les longues preuves compliquées, les équations et les calculs nécessaires pour une certitude rigoureuse dans les coulisses, et une phrase si longue au milieu d'autres énoncés simples et intuitifs semble maladroite. En conséquence, beaucoup de mathématiciens au cours des siècles ont essayé de prouver les résultats des éléments sans utiliser le postulat parallèle, mais en vain. Cependant, au cours des deux derniers siècles, des géométries non-euclidiennes ont été dérivées en utilisant les quatre premiers postulats euclidiens et diverses négations du cinquième.