Matematik/Överslagsräkning

En illusterad verision finns här.

Räkna grovt med runda tal – en bok om att förstå sin omvärld med hjälp av överslagsräkning

– Kan vår jord försörja en växande befolkning?

– Kan man lösa växthusgasproblemet genom att samla ihop och lagra luftens koldioxid i bergrum?

– Stämmer de siffror som presenteras om tillståndet i världen?

Förord

Den här boken handlar om växthusgas, livsmedel, världens hav och vindens hastighet. Den vänder sig till alla som vill använda matematiken till att förstå verkligheten i kvantitativa termer. Den är inte en lärobok, men borde kunna spela en roll i både vuxenundervisning och i ungdomsgymnasier, när man vill ha en mera direkt koppling mellan olika ämnesområden – samhällskunskap, matematik, teknologi, geografi, fysik, biologi och kemi – än vad skolböckerna ger. Delar av texten har använts i en tillvalskurs i naturvetenskap i grundskolan, tillsammans med denna Lärarhandledning.

Inga andra förkunskaper förutsätts än grundskolematematiken. Läsare som är vana vid att göra kalkyler kan hoppa över en del avsnitt i början, men även de kan säkert hitta mycket nytt i tillämpningsavsnitten. För dem som mest har erfarenhet av att räkna på pengar presenteras ett naturvetenskapligt perspektiv och för naturvetare som redan är vana vid att göra respektlösa approximationer kan det vara intressant att använda dem på angelägna samhällsproblem.

Boken börjar med att förklara några metoder att utveckla kvantitativa begrepp – framför allt överslagsräknande och visualisering. Efter det följer ett femtiotal exempel på vad man med dessa metoder kan fundera ut. Med fantasi, överslagsräkning och erfarenhet som man redan har klarar man gradvis av allt mer komplexa bedömningar.

En del av exemplen är "lösta", d.v.s. ett möjligt sätt att resonera presenteras – inte nödvändigtvis det bästa och ibland rentav med lite sämre noggrannhet än läsaren själv skulle kunna prestera, men ofta tillräckligt bra för sitt ändamål. För andra exempel ges bara en vink, medan en del är helt öppna för läsaren att prova olika vägar.

I alla tre fallen är det meningen att läsaren ska vara aktiv och försöka göra uppskattningarna själv. Det kräver papper och penna, eftersom det ibland är många steg att hålla reda på. Själva räkningarna, multiplikation och division, kan man alltid göra i huvudet, och min ambition är att presentera så åskådliga bilder av hur man kan tänka när man gör sina överslag, att läsaren efter lite övning ska kunna göra hela kalkyler utan hjälpmedel. (Det är som i verkliga livet där man kan behöva tänka ut saker även när man har vantarna på sig eller lyset släckt eller kanske befinner sig i en debattsituation där det är ett snabbt huvud och ingenting annat som räknas.) Men till en början: Skriv ned resultatet av varje steg.

Inledning

”Under 1997 släpptes det ut 23 000 Mton koldioxid från fossila bränslen.”

”Jordens biomassaproduktion är 55 · 10⁹ ton oljeekvivalenter per år.”

Sådana uppgifter möter oss allt som oftast. Men vad säger de? Att det är mycket, inte just mer. Det är svårt att tolka stora tal.

Uppgifterna är kanske fel. Somliga som skriver i tidningar och andra texter kan inte skilja så väl mellan miljon och miljard, kanske rentav tycker att det kan kvitta hur många nollor det är på slutet. De använder tal att briljera med – eller skrämmas. Ett syfte med denna bok är att visa att det går att kontrollera sifferuppgifterna även om man inte är insatt i de vetenskaper som har genererat dem.

Men även när taluppgifterna vi möter är pålitliga och korrekta har vi ett problem med dem. De är så många. Hjälper de oss att förstå vår omvärld? Somliga läsare försöker idogt lära sig det de läser, andra har märkt att det är hopplöst och rusar förbi siffror som om de var onödiga. Vilket ska vi välja – råmemorerande eller likgiltighet?

Det finns ett tredje förhållningssätt: att ständigt kontrollera rimligheten. Genom att räkna sätter man in textens uppgifter i ett sammanhang. Talen får liv när de möter andra tal, tal som man själv har räknat fram. Läsande i avsikt att minnas tal blir onödigt. En del av talen är fel, andra är självklara eller onödiga. Några få ger oss intressanta upplysningar, som ändrar vår verklighetsbild – utan att det för den skull är nödvändigt att memorera just talen.

Behöver man då inte lära sig några sifferuppgifter alls? Jo, men ganska få. Man behöver bara ett fåtal uppgifter som stomme, så kan man räkna fram annan kvantitativ kunskap från dem.

Att veta så lite som möjligt kan vara ett lämpligt motto i informationssamhället. Oftast finns det någon annan som håller reda på detaljerna, själv kan man nöja sig med det man redan har i sitt huvud, plus lite till, noga utvalt så att det fungerar som verktyg att sluta sig till många saker. Denna bok är lite grann en vägledning i att vara okunnig. Eller rättare sagt att vara kunnig genom att vara okunnig. Att lära sig det viktigaste och inte låta detaljerna skymma sikten.

Diskussionen kring oss förs med ord, med språket, medan siffrorna, som hämtas från auktoriteter, mest används som dekoration. När det är så krävs det en ansträngning att ta språnget till kvantitativ förståelse, där ord och tal samverkar till att skilja viktigt från oviktigt. Det blir lättare om de matematiska begreppen är överskådliga och förankrade i visuella och intuitiva resonemang. Det är sådana begrepp vi ska försöka utveckla i det följande.

Antal hjärnceller

Vi börjar med ett exempel som illustrerar metoden att med överslagsräkning kontrollera kvantitativa uppgifter som man träffar på.

ÖVERSLAG 1.

Enligt Nationalencyklopedin består hjärnan av 1015 - 1020 nervceller. Kan det stämma?

Vi vet hur stor en hjärna är: ungefär en decimeter i runda tal på både längden, bredden och höjden. Men hur stor kan en nervcell vara?

Om vi råkar veta att alla kroppens celler är större än bakterier och att bakterier är en tusendels millimeter – något som vi kommer att tala mer om längre fram – då kan vi få en övre gräns för hur många celler det kan vara i en hjärna genom följande resonemang:

Bakterier är en tusendels millimeter. Det betyder att det går tusen av dem på en millimeter, om man lägger dem i rad efter varandra. Det blir 10 000 på en centimeter, eller 100 000 på en decimeter. I hjärnans utrymme skulle det då rymmas hundratusen bakterier på längden, hundratusen sådana rader på bredden och hundratusen skikt på höjden. När man multiplicerar blir det en etta följd av 15 nollor. Det talet kan skrivas som 10¹⁵. Det råkar vara precis samma tal som den undre gränsen given i Nationalencyklopedin.

Men vår räkning gällde bakterier, och cellerna i hjärnan är större, så det kan inte rymmas så många hjärnceller i hjärnans utrymme, utan färre. Därför är det inte troligt att ens det mindre talet givet i encyklopedin kan stämma. Den övre angivelsen, 10²⁰, betyder en etta följd av 20 nollor. Det antalet är alldeles för stort.

Det vi nu gjort visar två saker: För det första att vi kunde räkna mycket grovt och ändå vara säkra på att Nationalencyklopedin hade fel. För det andra att vi behövde veta några saker: bakteriernas storlek och att kroppens celler (och därmed hjärnans celler) är större än bakterier.

Det gäller att välja lämpliga grunduppgifter att lära sig, så att man kan ta sig fram till annat. I denna bok ska vi ge en uppsättning om 19 sådana saker man behöver kunna, och visa hur man med dem kan räkna ut nästan allt annat man funderar på. Förutom dessa nitton finns det många sifferuppgifter du redan kan. Du vet till exempel hur många millimeter det går på en centimeter. Sen finns det ytterligare ett stort antal saker man har en god uppfattning om utan att se det som explicit sifferkunskap: – Hur lång är en människa? – Cirka 1 meter (vuxna lite längre och småbarn lite kortare). – Hur många elever är det i en skolklass? – Cirka 30. – Hur stor del av jordytan är hav? – Mer än hälften. När du läser texten och löser uppgifterna kommer du att ha stor nytta av sådan kunskap.

Våga räkna grovt

Vi vill inte låta detaljerna skymma de stora sammanhangen, inte ägna kraft åt att få sista decimalen rätt samtidigt som vi slarvar med storleksordningen. Därför använder vi genomgående överslagsräkning – vi avrundar, uppskattar och räknar grovt. Det är inte fel att räkna lite noggrannare, men det stjäl tid, och skapar distans till resultatet av ens räknande.

Det man inte kan räkna i huvudet förstår man inte riktigt. I ett avgörande skede har man lämnat över kontrollen till räknaren. Därmed har man inte den obrutna känslan för hur saker hänger ihop.

Hur grovt kan man då räkna? Man ska i alla lägen skilja på miljon och miljard. Det är ytterst sällan man kan tolerera att någonting är tusen gånger för stort eller litet. Högst tio gånger fel är vad vi för det mesta siktar på i det följande. Den precisionen räcker långt, i synnerhet när man räknar med multiplikation och division. Det mesta man räknar gör man för att kolla rimligheten i det man läser eller hör. Man jämför det med sin egen erfarenhet på ett systematiskt sätt, innan man tror på det eller för det vidare.

Försök uppskatta så nära du kan och avrunda så mycket att du utan problem kan räkna i huvudet. Att räkna ut 22,31 * 387 är svårt, men avrundat till 20 * 400 kan man på en sekund säga att det är ungefär 8000. Om man tycker att siffran 8 känns osäker, att det exakta svaret lika gärna kan vara 7000 eller 9000 eller till och med utanför dessa gränser kan man svara ”cirka 10 000”. Genom att ge ett så runt svar visar man att man inte gör anspråk på precision. Man har då avrundat till en tiopotens. Tiopotenserna är 1, 10, 100, 1000, 10 000 och så vidare, och man väljer alltså en av dem, en som ligger nära och passar bra. Eller om det är små tal väljer man bland 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 o.s.v.

I fallet ovan – när det gällde att multiplicera 22,31 med 387 – är det onödigt försiktigt att svara 10 000, eftersom det exakta svaret ligger mycket nära 8000. Det kan man förstå, eftersom man avrundade det ena talet uppåt och det andra nedåt innan man multiplicerade. Dessutom var avrundningarna ganska små; bara ett eller två snäpp behövde man ändra i andra siffran (från 22 till 21 till 20, respektive från 390 till 400).

Ibland kan man rentav avrunda till tiopotenser redan innan räkningen. Det blir då mycket lätt att multiplicera och dividera i huvudet; det är ju bara att hålla reda på antalet nollor. Ibland är det svårt att bestämma sig. Hur lång är människans livslängd, till exempel? Tio år verkar väl kort, och hundra för långt. Då ska man absolut inte tvinga in åldern i en tiopotens utan ta något tal som passar bättre, 50 år kanske. Det är lätt att multiplicera ändå och slutresultatet blir kanske lite noggrannare.

Om man ska dividera två tal och har avrundat dem till 700 respektive 30, då går det inte jämnt upp, trots att bägge talen är avrundade så att de bara har en siffra förutom nollorna som man har fyllt upp med på slutet. Då kan man justera talen uppåt eller nedåt lite grann tills det går lättare att dividera. Om man ändrar 700 till 600 blir kvoten 20. Huvudsaken är att räkningen går snabbt, på någon sekund i huvet för det mesta.

Naturligtvis finns det situationer då grov räkning inte duger. Det ger sig självt att man inte kan bevisa att en cykel ryms i en papperskorg genom följande resonemang:

– Hur lång är en cykel – är den en centimeter, en decimeter, en meter, 10 meter...?

– Svar: Närmast en meter.

– Hur stor är en papperskorg – en centimeter, en decimeter...?

– Svar: Närmast en meter. En meter passar precis i en meter, alltså ryms en cykel i en papperskorg.

Felet man gjorde här var att man på slutet glömde att längdangivelserna var ungefärliga och började tänka på ”passar precis”.

Överslagsräknande är en ganska missaktad färdighet. En del ser det felaktigt som ett sämre slags räknande men det har många fördelar. Ibland räknar man grovt bara för att vinna tid eller för att kontrollera ett mera noggrant resultat från räknaren, men i andra fall finns det över huvud taget inget bättre alternativ. Och ibland vore det rent befängt att räkna annat än grovt, nämligen om de uppgifter man utgår ifrån är mycket osäkra. Det berättas om någon som visade sin kompis runt på ett museum och som om ett visst fossil berättade att det var trettio miljoner och två år gammalt. – Hur kan du veta det? frågade kompisen. – Jo för jag var här för två år sedan och då fick jag veta att det var trettio miljoner år gammalt.

Sådan vördnad för petitesser är i själva verket vanlig. När det har varit en väljarundersökning brukar tidningarna ingående kommentera även insignifikanta förändringar i partisympatier.

I det följande kommer vi att beräkna världens livsmedelskonsumtion. Det vore förfelat att beräkna den med stor noggrannhet, eftersom det är högst oklart vad man menar med själva begreppet ”livsmedelskonsumtion”. Är det som att man väger all maten precis innan den stoppas i munnarna? Eller tänker man sig vägningen innan den läggs på tallrikarna, eller innan ingredienserna läggs i grytorna? Eller ska man räkna när matvarorna bärs hem, eller när skördarna bärgas? I varje skede har man svinn, och i en del skeden sätter man till vatten. Ska vattnet räknas med, och annan dryck och bröstmjölk? Ska man kanske räkna på livsmedlets torrsubstans? Sällan – om någonsin – specificerar man allt sådant, men ofta finns det en naiv tro på att sifferuppgifterna ska vara exakta ändå.

Det är inget fel på att använda begrepp som är vagt definierade, liksom ”livsmedelskonsumtion”. Annars skulle vi knappt kunna prata alls. Fel blir det först när man slutar att tänka på att de är vaga och att sifferuppgifterna därför måste vara i motsvarande grad ungefärliga. I många av våra exempel kommer vi att räkna grovt just för att det är det enda rätta i sammanhanget. I en del andra exempel går det att komma fram till ett mer noggrant svar också, om man tycker det är värt.

Miljon och miljard

Man vet att miljon betyder 1 000 000, det vill säga tusen gånger tusen, och miljard är 1 000 000 000, det vill säga tusen gånger tusen gånger tusen. Det är rätt många som blandar mellan dessa, men antalet nollor ska man alltid hålla reda på. Riktig känsla för talen får man genom överslagsräknande. Man erfar att befolkning brukar räknas i tusental i kommuner, i miljoner i länder och i miljarder när det gäller hela jorden. I de flesta valutor räknar privatpersoner vanligen sina pengar i tusenlappar, medan storföretag räknar i miljoner och stater i miljarder.

Redan som barn lärde vi oss räkna till hundra. Få har någonsin räknat till tusen men vi vet ändå att vi skulle kunna. Att räkna till tiotusen tar en dag, till hundratusen en månad och en miljon ett år. Att räkna till en miljon är alltså ett projekt som en grupp hängivna skolungdomar skulle kunna klara av, om inte någon förståndig vuxen stoppar dem, men att räkna till en miljard klarar ingen människa av.

En del av de felaktiga storleksangivelser som möter oss beror på felöversättning från engelskan. En biljon är 10¹², dvs 1 000 000 000 000 (en etta följd av 12 nollor). I engelskan används ordet ”billion” oftast för att beteckna miljard, av vilka det alltså går tusen på en biljon (och motsvarande för trillion, som är en biljon och inte en triljon, etc.).

Förstavelsen för tusen är kilo (k), för miljoner mega (M), och för miljarder giga (G). På paketet med gula ärter står det till exempel att 100 gram ärter ger 1250 kJ energi. Man kan förvandla det till 1,25 megajoule och man kan använda den uppgiften för att uppskatta en människas årliga energibehov, som lämpligen kan uttrycks i gigajoule.

Använd din erfarenhet och fantasi

ÖVERSLAG 2.

– Hur många ton apelsiner importerar Belgien på ett år?

– Inte vet jag det.

– Jag ber dig inte ange det noga – på ett ungefär?

– Ingen aning.

– 100 kg?

– Mera.

– Se där, du vet. Du har en aning. Kan det vara 1000 kg?

– Mera.

– 10 ton.

– Kanske.

– 1000 ton?

– Kanske

– En miljon ton, eller en miljard ton?

– Kanske.

Vi ska tänka efter och göra ett överslag. Vår erfarenhet av apelsiner sa oss att belgarna importerar mer än 100 kg per år och till och med mer än 1000 kg. Och vi kan dra fler slutsatser av vår kunskap om apelsiner och belgare:

Belgare är väl som folk är mest. Som jag till exempel. Jag äter kanske en apelsin i veckan. Det blir 50 om året. Det går kanske fem på ett kilogram, så det är 10 kg per år. Hur många bor det i Belgien? Jag vet att det är ett litet land men tättbefolkat, så vi säger 10 miljoner. Tillsammans äter de alltså 100 miljoner kilogram per år. Det är 100 000 ton. Odlar de egna apelsiner i Belgien? Knappast. Så då importerar de sina 100 000 ton per år. Där har vi svaret.

Hur pass väl kan man lita på det resultatet? Kan det vara så att antalet belgare är 10 gånger så stort? Nej. En tiondel? Nej. Det är inte något större fel på uppskattningen av belgarnas antal. Däremot är uppskattningen av konsumtionen mer osäker. De kanske äter 10 apelsiner i veckan, och inte en. Då blir slutresultatet tio gånger så stort. Däremot kan de knappast äta 100 apelsiner i veckan. Möjligen några enstaka individer, men inte i snitt. Belgien har kanhända juice- eller marmeladfabriker som exporterar juice eller marmelad gjord på importerade apelsiner, men vore den exporten mycket stor hade man väl hört talas om det, för lite märkligt vore det om ett land med så apelsinovänligt klimat slog sig på storskalig apelsinproduktexport.

Kan det tänkas att belgarna äter betydligt mindre än en apelsin i veckan? Jag vet inte. Så mycket vågar man väl säga att Belgiens apelsinimport kan räknas i tiotusentals ton och knappast är många miljoner ton per år. Det är ett bra resultat av vårt överslagsräknande. Allt tidigare funderande om 10 ton och hundra ton och miljarder ton kan vi nu bestämt avfärda. Och vi avfärdar det av egen kraft. Vi har inte slagit i böcker och inte frågat någon auktoritet.

Allt detta kunde vi komma fram till med bara lite funderande. I det följande kommer vi att utvidga området för vad man kan fundera ut, genom att introducera nitton väl valda tal, som man kan använda som grund för att räkna ut andra viktiga uppgifter. Dessa nitton numeriska uppgifter får man lära sig (om man inte redan kan dem eller kan några andra tal som tjänar samma syfte). Nitton är trots allt ett ganska litet antal, jämfört med hur många sifferuppgifter många försöker smälla in i sin skalle.

Kommer man igång med att räkna grovt finner man att många sifferuppgifter är helt onödiga att belasta minnet med. Behöver man veta något kan man lika gärna räkna fram det själv. Samtidigt får man en struktur att hänga upp nya kunskaper på, så det blir lättare att lära sig och komma ihåg sifferuppgifter. Och inte bara storleksordningar blir intressanta utan också vissa tal givna med större noggrannhet. Tänk dig till exempel att du nu fick tillgång till statistik över internationell apelsinhandel. Visst vore det intressant att slå upp Belgien och kontrollera vad vår överslagsräkning är värd.

(Enligt statistik från Förenta nationernas livsmedels- och jordbruksorganisation importerade Belgien 139 090 ton apelsiner [1] år 2009)

När man får övning i överslagsräknande går det också snabbare, och då hinner man räkna mer och får mer övning och blir ännu snabbare. Om vi går tillbaka till exemplet med belgarna: Vi gick igenom det ganska omständligt, men om en vecka har du kanske glömt resultatet och vill räkna ut det igen. Hur snabbt går det då? Tar det en halv minut? Tio sekunder? Du kanske inte gör precis lika som vi gjorde nu men det blir nog bra ändå.

Hur många?

ÖVERSLAG 3.

Hur många böcker finns det på biblioteket?

Försök se ditt biblioteks böcker framför dig, där de står i sina hyllor. Hur många böcker är det på varje hylla? Är de tio, hundra, tusen...? Du kanske är hjälpt av att tänka på att hyllan är cirka en meter lång och att böckerna är cirka en centimeter tjocka.

Om det går hundra böcker på varje hylla och det är sex hyllor över varandra i varje sektion blir det mindre än tusen böcker i varje sektion (600). Hur många sektioner är det i varje hyll-länga? Se dig omkring. De är troligen olika långa. Kanske stannar du för att de flesta består av tre sektioner. Det skulle ge ca 2000 böcker i varje länga. Hur många längor? Om några är mycket längre än de flesta får du väl dela upp dem i avsnitt om tre sektioner. Låt oss säga 23 sektioner på ditt specifika bibliotek. Då kan vi säga att biblioteket har 23 · 2000 ≈ 50 000 böcker.

Det här var en antydan till hur man kan sortera i sin fantasi så att man får jämnstora bitar som man kan multiplicera. Det är ofta man kan göra uppskattningar på det sättet.

Om du tycker det behövs kan du justera svaret lite uppåt eller nedåt. Här har vi under räkningens gång avrundat mera uppåt än neråt. Kanske är de flesta böckerna trots allt mycket tjockare än en centimeter. Då kanske vi tror att böckerna är 40 000 eller 30 000 snarare än 50 000. Hur som helst får vi inte tro att vi har träffat precis i prick. Det vi har gjort är en uppskattning.

I det här fallet får man räkna med att ligga fel med kanske trettiotusen, i andra fall ligger man mera fel eller mindre fel. Ofta har man en intuitiv känsla för hur pass mycket fel ens uppskattning kan slå. Om man har tagit fel med femtio procent i uppskattningen av den genomsnittliga boktjockleken får man räkna med att det ger ett femtio procents fel i slutresultatet. Vill man göra sig det besväret kan man göra två beräkningar, en där man räknar allting drygt och en där man räknar allting knappt. Då får man en övre och en undre gräns för vad man kan tro på.

ÖVERSLAG 4.

Hur många svenska ord kan du?

Tänk dig en stor ordbok, en där nästan alla ord du kan finns med. Hur många sidor har den. Hur många uppslagsord finns det per sida. Hur stor del av orden kan du?

I stället för att bara tänka sig ordboken kan du göra en verklig undersökning av ditt ordförråd. Du behöver alltså en tillräckligt stor ordbok. Hur många uppslagsord den har brukar stå på pärmen eller i förordet, men kolla uppgiften för säkerhets skull genom att multiplicera sidantalet med antalet uppslagsord på varje sida (räkna på ett par tre sidor och ta snittet).

Låt oss säga att boken har 23 000 uppslagsord. Då kan du slå upp den på måfå 23 gånger och sätta ner fingret någonstans på sidan och läsa ordet du pekar på. Skriv ner om du kunde ordet eller inte. Du får bestämma dig för om du räknar det aktiva ordförrådet – de ord du brukar använda – eller det passiva – de ord som du förstår. Du har nu kollat 23 av de 23 000 orden, alltså en tusendel. Om du kunde 14 betyder det att du kan ca 14 000 av orden i ordboken. (Eftersom du tagit ett så pass litet stickprov kan det mycket väl hända att ditt ordförråd i själva verket är några tusen större eller mindre, men att det är mellan 10 000 och 20 000 kan vi vara ganska säkra på. Vill man ha större noggrannhet får man förhöra sig på fler ord, till exempel en femhundradel eller en tvåhundradel av ordbokens ord, men det är väl sällan man är genuint intresserad av sådana petitesser.)

ÖVERSLAG 5.

Hur många flygplan behövs för att i en luftbro undsätta 1 miljon människor med mat och förnödenheter?

Man kan tänka så här: Hur många sittplatser finns det i ett flygplan? Om man har åkt i ett flygplan liknande dem som kan komma i fråga i luftbron, kan man mana fram bilden av sätena i kabinen framför sin blick. Hur många var de i bredd? Hur många rader? Sen frågar man sig: Behöver man transportera så mycket grejer till var och en av de nödställda att det tar lika mycket plats som en passagerare? Eller kan man på varje plats i planet knöla in filtar och mat eller vad det kan vara så att det räcker för 10 personer eller fler? Så får man en uppfattning om hur många människor ett plan kan undsätta. Sen får man dividera.

ÖVERSLAG 6.

Man ser att en datafil innehåller "200 kB". Är det möjligt att denna fil innehåller hela texten till dennas Wikibook om överslagsräknande?

Bokstäverna kB står för 1000 dataoktetter (byte) av information. I normala textdokument motsvarar den informationsmängden också cirka 1000 tecken (bokstäver, siffror eller skiljetecken). Man behöver alltså veta hur många tecken denna Wikitext innehåller. Man kan lätt räkna eller uppskatta antalet tecken på en rad. Sen skattar man antalet rader per skärm och antalet skärmar och multiplicerar. Räcker det till med 200 kB för att lagra dem alla?

För datafiler anges det alltså hur många oktetter de rymmer. Det finns en mindre enhet för informationsmängder, som ofta används ifråga om informationsöverföring, nämligen bit. En oktett består av åtta bitar, och rymmer ett ASCII-tecken (vilket begränsar vilka tecken man kan använda). Nuförtiden använder man Unicode, som klarar alla världens språk, och beroende på vilka tecken det gäller och hur de kodas kan ett tecken ta 1–4 oktetter. Då det gäller västerländska språk och UTF-8 blir resultatet tillräckligt nära en byte per tecken för våra behov. Vid dataöverföring kan man räkna tio bitar per oktett (inklusive kontrollsummor etc.), så med en 10 Mb/s förbindelse överförs 1 MB/s.

Det finns en lek som heter ”Tjugo frågor”. Alla som sitter i rummet kommer överens om något ur växtriket, djurriket eller mineralriket och den som har gått ut ska med tjugo ja/nej-frågor komma fram till vad. Man skulle också kunna komma överens om en viss bokstav på en viss sida i en bok och be den som varit ute att med 8 ja/nej-frågor komma fram till vilken bokstav i alfabetet det är, och dessutom om det är stor eller liten bokstav. Också skiljetecken och mellanslag är tillåtna. Skulle du klara det med åtta frågor? Det gjorde datorerna när de räknade med 8 bitar per tecken. (– Är det en konsonant? – Är det en främre vokal? … skulle man kunna börja frågandet, så att man i varje steg delar upp de möjliga svaren i två möjligast lika stora grupper.)

ÖVERSLAG 7.

Hur stor informationsmängd finns det på en TV-film?

Filmen består av bilder som visas i snabb följd. Varje bild består av linjer och linjerna av bildpunkter, som har olika färg och ljusintensitet. Om det vore bara 100 bildpunkter på längden och bredden skulle man tycka att bilden var väl grovkornig, så vi räknar på 1000 · 1000. Då kan vi få god skärpa. Per sekund behöver vi typ tio gånger så många, 10 000 000, för att det ska bli mjukt flyt i rörelsen, för är det färre än tio bilder per sekund ser det ut som separata bilder som hackar fram, den ena efter den andra. Sådär en tusen sekunder får filmen hålla på för att vi inte ska tycka att den är för kort. Då är vi uppe i 10 gigabitar. Så många ja/nej-frågor måste man ställa för att återskapa hela filmen, men då har man fortfarande inte fått den i färg och inte heller med några mellantoner mellan svart och vitt. Vi har för varje punkt på skärmen under hela filmens förlopp bara fått klargjort om den är tänd eller släckt.

Ska det vara kvalitet på filmen får vi för var och en av de 10 miljarder bitarna ställa ett tiotal frågor för att fastställa hur mycket blått där ska vara inblandat, ett tiotal frågor för att komma fram till ett noggrant mått på kvantiteten rött och ett tiotal för kvantiteten grönt, alltså sammanlagt ett trettiotal frågor. Med dessa tre grundfärger skapas genom additiv färgblandning alla TV-skärmens nyanser. Trettio frågor gånger 10 miljarder bitar blir 300 Gbit. Informationsmängden 300 Gbit motsvarar ungefär 30 Gbyte. Filmen innehåller alltså långt mer information än vad som ryms på den textfil vi räknade på i föregående uppgift. I praktiken är filmfiler inte så här stora: bilderna som följer på varandra är i allmänhet nästan likadana och det används för kodningen, så en timme film med traditionell kvalitet (lite sämre än vad vi räknar med ovan) kan fås att rymmas på 2 GB – men då bilderna växlar snabbt som i vissa sportsekvenser går det inte att komprimera så effektivt, vilket ibland syns som försämrad kvalitet på bilden.

ÖVERSLAG 8.

Hur många hårstrån finns det på ett huvud?

Du kanske tänker ungefär så här: Hårstråna sitter på en millimeters avstånd. Skalpen är ca 20 cm · 20 cm. Det betyder 200 strån på längden och 200 på bredden. Svar 40 000.

Kan vi lita på det svaret? Ja, självfallet finns det många huvuden med färre hårstrån, även flintskalliga. Och vår uppskattning att hårstråna sitter på millimeters avstånd är tillhöftat. Men vi kan vara tvärsäkra på att de inte sitter på tiondels millimeters avstånd – vi kan ju se mellanrum mellan stråna om vi synar någons hårbotten. Hade vi räknat med halvmillimeters avstånd hade vi fått 400 · 400 = 160 000, istället för 40 000 som vi fick ovan. Så stor är osäkerheten här, så det kan vara klokt att avrunda svaret till 100 000 och påpeka att det finns huvuden med mycket färre hårstrån också.

ÖVERSLAG 9.

Hur många maskor är det i en tröja?

ÖVERSLAG 10.

Hur många löv är det på ett träd?

Enheter

Du vet hur lång en centimeter är, och likaså en millimeter, decimeter, meter, kilometer och mil. Du kan både visualisera det och du vet hur många det går av en viss enhet på närmast större. Du har också en bild av liter, deciliter och kilogram, och kanske betydligt fler enheter.

Milliliter, gram, milligram och ton används så ofta så dem behöver man ha en intuitiv uppfattning om. Man kan tänka så här:

Milliliter – En milliliter är en tusendels liter. Eftersom en liter fyller en kub som är 1 dm lång , 1 dm bred och 1 dm hög får vi en tusendel genom att ta en tiondel av kuben på längden, en tiondel på bredden och en tiondel på höjden. Det ger en kub som är 1 cm gånger 1 cm gånger 1 cm. Visualisera detta. Det är 1 ml. (Har du lärt dig att en tesked rymmer fem milliliter och har svårt att förstå att den kan rymma fem sådana kuber, så kan du skära ut kuber ur en banan och trycka ner dem i en tesked så får du se att de ryms.)

Gram – Du vet att 1 l vatten väger 1 kg. En tusendels liter väger därför en tusendel av ett kg, alltså ett gram. Tar du något annat material än vatten gör det inte så stor skillnad. En kub av trä, krita, gummi eller äpple med 1 cm kant väger alla ca 1 gram.

Milligram – Milligram betyder tusendels gram. Tänk alltså på en kub som är 1/1000 kubikcentimeter. Det är en tiondel på längden, en tiondel på bredden och en tiondel på höjden. Den har alltså kanterna en millimeter. Frammana bilden av en sådan kub och säg:”Den väger nog ett milligram”.

Ton – Ton är tusen kilogram. En kub som är tio gånger så lång, tio gånger så bred och tio gånger så hög som enliterskuben, väger ett ton om den består av vatten eller något med ungefär samma densitet. Den har alltså en meters sida. En kubikmeter ved väger nästan ett ton. (Vedträn flyter på vatten och det är luft emellan träna, men ändå ger det ganska hyggliga resultat om man räknar att 1 kubikmeter är ett ton även för detta fall.

Per capita och mänskligheten

Antal nulevande människor på jorden är ungefär 7 miljarder. Om man håller reda på det kan man lätt relatera världens tillstånd till sin privata erfarenhet.

Hur stor är världens livsmedelskonsumtion? frågar någon. Man vet att man själv äter ungefär ett kilogram dagligen. Alltså äter alla jordens människor tillsammans ca 7 miljarder kilogram. Det svaret kan man komma med direkt, och bara lite mer tid behövs för att förvandla det till ton eller ange mängden per år. Det var bara att multiplicera med 7 miljarder för att gå från sin individuella erfarenhet till det globala. Alla människor äter ju nästan lika mycket – även spädbarn om man räknar bröstmjölken som mat.

ÖVERSLAG 11.

Hur stort är världens årliga skolboksbehov?

Vi människor konsumerar inte skolböcker varenda dag av våra liv, så som med mat, så det är kanske bäst att först räkna på ett helt människoliv, säg 50 år. Hur många skolböcker har du konsumerat (eller kommer att konsumera, om du fortfarande går i skola). Kanske 10 skolår gånger 10 skolämnen gånger en bok i varje ämne varje år. Det blir hundra böcker, men var de böckerna splitt nya, och fick du behålla dem? Om de återanvändes får man dividera 100 med antalet elever som brukade använde samma bok. Om du tycker att ditt skolboksbehov blev tillgodosett kan du sen multiplicera med 7 miljarder och få världsbehovet av skolböcker under 50 år. Årsbehovet är en femtiondel därav.

ATT MINNAS (1)	På jorden lever för närvarande 7 miljarder personer.

Folkmängder och folkökning

Folkmängden i sitt land brukar man kunna och det är bra eftersom sifferuppgifter man läser i tidningarna ofta avser landet. När det gäller andra länder kan man inte utgå ifrån att de är ungefär lika folkrika. Skillnaderna är för stora även för mycket grov räkning. Man får hålla reda på i vilken storleksklass var och en av världens ca 200 stater befinner sig. Det finns två stycken miljardstater, ca 35 stycken hundramiljonstater, ca 100 tiomiljonstater, ca 40 miljonstater och närmare 30 mindre stater.

Var drar man gränserna mellan klasserna? En stat med 40 miljoner människor, ska den räknas till tiomiljonstaterna eller hundramiljonstaterna?

Vi har dragit gränsen mellan kategorierna vid drygt tre gånger hundra miljoner, tre gånger tio miljoner, tre gånger miljonen osv. Det kan tyckas att gränsen borde gå vid 5, men talet 3 har den fördelen att till exempel miljongruppen kommer att bestå av alla länder som ligger tre gånger över eller tre gånger under miljonen. Man räknar alltså med samma faktor uppåt och nedåt – kvadratroten ur tio, som är strax över 3. Man får hela vägen ett trefaldigande, från kategori till gräns, och från gräns till kategori.

Med en sådan här kategorisering kan man hålla reda på folkmängderna i alla världens stater utan att behöva plugga spalter med befolkningssiffror som inom några år är föråldrade. I fråga om till exempel Irak, Kirgisistan, Australien och Moldavien räcker det kanske att veta att de hör till tiomiljonerstaterna. Det är ett ganska grovt rundande. Att det trots det går att få vettiga resultat visar nedanstående tabell med uppskattningar av sammanlagda befolkningen i varje kategori, som vi fått genom att helt enkelt multiplicerat de två första spalternas tal:

Kategori	Antal	Uppskattad sammanlagd befolkning
Miljardstater	2	2 Gpers
Hundramiljonstater	35	3,5 Gpers
Tiomiljonstater	100	1 Gpers
Miljonstater	40	40 Mpers
Mindre	30	< 3 Mpers
Sammanlagt	ca 200	6,5 Gpers

Sex och en halv miljarder fick vi alltså sammanlagt, ganska nära det värde för jordens folkmängd vi lärde oss tidigare och som var baserat på mer noggranna kalkyler. Det man speciellt får hålla ögonen på i sådana här räkningar är antalet i bamsekategorin. Där är det så få stater att man inte kan ta för givet att det jämnar ut sig mellan dem som ligger över och dem som ligger under den avrundade siffran. Nu råkar bägge miljardstaterna, Indien och Kina, ha befolkningar som ligger en bit över miljarden. Tillsammans ger det en halv miljard till, och då får vi det för tillfället riktiga, 7 miljarder.

Ett annat sammanhang där förhållandena i de största staterna slår igenom mycket starkt är när man har genomsnitt av någon viss uppgift för hela världen. När man läser att befolkningsökningen i världen minskar – beror det på att det har skett en förändring i världens stater över lag, eller beror det på Kinas eller Indiens befolkningspolitik?

Å andra sidan får man tänka på att inte konstruera ett världsmedelvärde genom att addera siffrorna för alla länder och dela med 200. I nästan alla sammanhang är det vettigare att dela upp lika på personerna, d.v.s. de folkrika länderna ska få mycket större vikt. Sen hänger det på den som tolkar statistiken att beakta att folkrika stater påverkar medelvärdet mest.

ATT MINNAS (2)	Det finns ca 200 stater på jorden, varav hälften är tiomiljonstater, ganska många är hundramiljonstater och två är miljardstater.

ÖVERSLAG 12.

Vilka är fler: barren på en julgran eller människorna i Sverige?

Människorna i Sverige är ca 10 miljoner. Om vi gjorde en trave med 100·100·100 barr så blev det bara en miljon, så vi tar 500·200·100 barr för att ha 10 miljoner, ett för varje svensk. Barren är 1 mm tjocka och 1 cm långa. Om vi travar så att vi lägger hundra barr på längden och 500 sådana rader i bredd och sen 200 sådana skikt på varandra får vi en trave som är 100 cm · 500 mm · 200 mm. Det är väl lite mer än en hopklämd julgran, och då består julgranen inte bara av barr utan dessutom av en massa trä. Den som inte har erfarenhet av att klämma ihop julgranar men har sopat upp barr måste väl erkänna samma sak: Barren på en vanlig julgran må förefalla många, men de förslår inte till hela Sveriges befolkning om var och en ska ha sitt barr.

ÖVERSLAG 13.

Hur många människor föds per år?

Vi börjar med ett enklare problem: Hur många människor dör per år? Du går till dig själv och ditt liv: Hur många gånger dör du under din livstid? Svar: En gång. Det gäller alla andra också: en gång under en levnad som uppskattningsvis är ca 50 år. I hela världen blir det 7 miljarder dödsfall under 50 år, d.v.s. i snitt hundra miljoner per år. Eftersom befolkningen ökar måste födelsetalet vara högre än så, men det kan inte vara flera gånger så stort, för då skulle det bli någon miljard fler människor på bara några år, och i så fall hade det inte varit vettigt att uppmana läsaren att lägga 7 miljarder på minnet.

ÖVERSLAG 14.

Hur stor blir den årliga folkökningen i ett land där en kvinna i genomsnitt föder två barn och där invandringen och utvandringen är lika stora?

Det ena barnet ersätter henne och det andra ersätter barnafadern, så folkökningen blir 0 procent per år, om situationen med två barn blir bestående en längre tid och om dödlighet och den ålder vid vilken kvinnorna föder sina barn inte förändras. (Observera att när man säger att kvinnor i snitt har två barn, då har man slagit ut barnantalet på alla kvinnor, alltså också på de flickor som dog innan de nådde fertil ålder.)

I verkligheten sker det förändringar som gör att vissa kullar blir stora, vilket i sin tur åstadkommer nya förändringar. Sådana förändringar brukar diskuteras mycket, eftersom de ger så tydliga effekter i dagis och skolor som är dimensionerade utan marginaler. Ändå är sådana fluktuationer rätt små, både i sin påverkan på folkmängden och samhällsekonomin i ett längre perspektiv. Därför kan man med lite försiktighet få viktiga resultat med överslagsräkning som bortser från sådana fluktuationer.

ÖVERSLAG 15.

Hur stor blir den årliga folkökningen i ett land där en kvinna i genomsnitt föder fem barn?

Två av barnen ersätter föräldrarna och tre tillkommer under föräldrarnas levnad. Det blir 1,5 för fadern under hans livslängd (50 år) och 1,5 för modern under hennes livslängd om 50 år. I genomsnitt under de år denna medelkvinna är i livet ger hon upphov till 1,5/50 barn netto per år, och för en medelman gäller likaså 1,5/50 barn per år. 1,5 utav 50 är detsamma som 3 utav 100, alltså 3 procents folkökning varje år.

Det är mycket viktigt i befolkningsstatistiken att man noga läser definitionerna av sådant som dödlighet, dödstal, födelsetal, fruktsamhet, folkökning. Kontrollera om med kvinna avses endast de kvinnor som är mellan 15 och 45 år eller alla personer av kvinnligt kön eller något däremellan. Det är också brukligt att räkna in dödsfall bland barn i en annan kategori än övriga döda, och detta är inte alltid klart utsagt. Siffrorna flyger över världen medan de petimetriga orden får stanna hemma.

För dem som fortfarande tror att tal är viktigare än orden kring dem kommer här tre frågor: Vem fick 1921 års nobelpris i fysik? Vem tilldelades nobelpriset i fysik 1922? Vem mottog nobelpriset i fysik 1923? Svaret på alla tre frågorna är Albert Einstein. Det betyder inte att han fick priset tre gånger. Men ifråga om 1921 års pris blev beslutet fördröjt till 1922 och Einstein reste till Sverige året därpå, 1923.

Fördubbling och halvering

Om något ökar med 100 procent blir det dubbelt så stort. Om det däremot ökar med 50 procent efter ett år och sen med 50 procent igen efter ytterligare ett år, blir det mer än dubbelt, eftersom man förstår det så att det inte bara är den ursprungliga kvantiteten som ökar vid det andra tillfället utan också tillskottet som det blev vid den första ökningen.

Likaså om man har en årlig ökning om 1 procent. Då får man dubbling på mindre än på 100 år. Det tar i själva verket ungefär 70 år. Detta ”sjuttio” finns det skäl att lägga på minnet. Ta en titt på följande tabell som visar hur lång fördubblingstiden blir vid olika procentsatser. (Siffrorna avser år om det är frågan om årliga tillväxt.) Tabellen är framtagen med en noggrann räkning, där man gör uppräkning gång på gång tills man kommer till ett tal som är dubbelt så stort som det ursprungliga.

Procentsats	Fördubblingstid
0,1	693
1	70
2	35
3	23
5	14
7	10
10	7
20	3,8

I tabellen kan man till exempel se att 1 procents årlig ökning ger fördubbling om 70 år och 2 procents ökning om 35 år.

Låt oss nu multiplicera ihop de två talen på samma rad i tabellen: 0,1 gånger 693 ger 69,3; 1 · 70 = 70; 2 · 35 = 70 o.s.v. Vi ser att det blir cirka 70 på alla raderna. Det här visar att man i praktiska sammanhang inte behöver göra någon omfattande noggrann räkning år för år. Fördubblingstiden gånger procentsatsen är hela tiden nära 70, förutsatt att procentsatsen inte är alltför stor. Känner man den ena kan man räkna ut den andra, helt enkelt genom att höfta till den så att deras produkt blir ungefär 70 (kanske 75 eller 72 om det är enklare att räkna så).

ATT MINNAS (3)	När en ökning (eller minskning) hela tiden sker med lika många procent på samma tidsperiod kan man använda ”70-regeln” som säger att procentsatsen gånger fördubblingstiden (halveringstiden) brukar vara nära 70.

ÖVERSLAG 16.

För tjugo år sen var min lön hälften av vad den är nu. Hur många procent har den genomsnittliga lönehöjningen varit?

70 / 20 = 3,5. Svar 3,5 procents genomsnittlig årlig löneökning.

ÖVERSLAG 17.

För ett land förutspås en stabil BNP-tillväxt om 1 procent per år. Hur lång tid tar det innan BNP har fyrdubblats?

Procentsatsen är 1. För att få 70 får man multiplicera detta tal ett med 70. Sjuttio år är fördubblingstiden. Efter ytterligare 70 år har man fått en ny fördubbling, alltså fyrdubbling jämfört med det ursprungliga.

ÖVERSLAG 18.

Av varje mängd radioaktivt cesium sönderfaller 2 procent av atomerna varje år. Hur lång tid tar det för radioaktiviteten att minska till en hundradel?

Efter ca 35 år har radioaktiviteten halverats, efter 70 år har den gått ner till en fjärdedel och efter ca 105 år till en åttondel. För att den ska gå ner till en tiondel tar det något längre tid, eftersom en tiondel är något mindre än en åttondel, men det tar absolut inte 35 år till för då är radioaktiviteten nere i en sextondel. Vi uppskattar att det tar 110 år för radioaktiviteten att bli en tiondel. För att den mängd man har kvar då i sin tur ska minska till en tiondel tar det 110 år till. Sammanlagt tar det alltså ca 220 år för radioaktiviteten att reduceras till en hundradel.

Jorden

- Sjung den här låten:

Vi for med bil

ettusen mil

och sen ettusen till.

Vi for med bil

ettusen mil

och sen ettusen till.

Och då var vi hemma igen.

Den sången hjälper oss att komma ihåg att det är 4000 mil runt jorden, även om den inte direkt påstår att man envetet for i samma riktning hela tiden. Så långa raksträckor som är framkomlig med bil finns det ju inte, så det hela är förstås en fantasi.

Ettusen mil är en av de viktigaste sifferuppgifterna som finns. Den ligger till grund för många av räkningarna i det följande. Den gäller med mycket god noggrannhet både att ekvatorn är 4000 mil och att avståndet från en pol till ekvatorn är 1000 mil.

ATT MINNAS (4)	Avståndet från nordpolen till ekvatorn är 1000 mil.

ÖVERSLAG 19.

Hur lång är jordens diameter?

Diametern, måttet tvärs igenom, måste i varje fall vara kortare än 2000 mil. Om man ska ta sig från pol till pol måste det ju vara kortare väg att ta sig tvärs igenom jorden än att behöva åka 2000 mil längs jordens buktiga yta. Behöver man veta mer precis hur pass mycket kortare än 2000 mil som diametern är, då får man visualisera den raka sträckan genom jorden och halvcirkeln längs ytan. (Man kan jämföra med en idrottsplan där en springer längs den rundade delen av löpbanan och en annan tvärs över gräset.) I grov räkning räcker det ofta med att veta att diametern ligger mellan 1000 och 2000 mil.

Visualisera jordgloben

Om du inte har gjort det tidigare, ta en ordentlig titt på en jordglob, så att du har en ganska klar bild av den för din inre syn i fortsättningen. Först avstånden:

– Är kontinenterna mer eller mindre än tusen mil?

– Sverige når ju inte ner från nordpolen till ekvatorn, men hur många Sverige skulle man behöva lägga efter varann för att nå hela vägen? Hur långt är Sverige alltså?

- Finland ligger mellan sextionde och sjuttionde breddgraden. Nittio grader är en rät vinkel. Man räknar vinklarna från jordens centrum, så att ekvatorn ligger på 0 och nordpolen på 90. Finland: 10/90 = 1/9. Kan du se att Finland är en niondel av tusen mil. Hur mycket blir det?

Sen kan du titta på ytorna:

– Hur stor del är hav och land?

– Hur stor del är varje kontinent av hela landytan?

Jordens area

Tänk dig att du har kvadratiska tyglappar så stora att en kant precis når från pol till ekvatorn. Nu ska du svepa in jorden i sådana lappar. Hur många lappar behöver du? De ska hölja utan att överlappa; kanske får du klippa till dem för att få passform och använda restbitarna på andra sidan. Hur du gör beror på vad du har erfarenhet av, men vad är ditt svar? Hur många behövs? Räcker en? – Nej! – Två? – Nej. – Tre? – Knappast. – Fyra? – Vet inte. – Går det kanske åt tio? – Nej, inte ens åtta. – Hur vet du det? – Jag tänker så här: Jag syr ihop 8 lappar, så att det blir 4 på längden och 2 på bredden. Den remsan räcker precis ett varv runt ekvatorn. Det blir en cylinder som når upp över nordpolen och ned under sydpolen. Snörper man ihop den uppe och nere täcker den hela jordytan, och då är det ju alldeles för mycket tyg, så att det blir stora rynkor både uppe och nere. Så om man figursyr sparar man in säkert ett par av de åtta lapparna. Jag gissar att det går åt fem lappar som är 1000 mil · 1000 mil för att täcka jorden.

Det stämmer väl. Det exakta svaret är 16/π, som ligger mycket nära 5. (Man räknar ut 15/3 istället. Eftersom man har rundat 16 nedåt till 15 och π nedåt till 3, dvs både täljare och nämnare åt samma håll, tar avrundningsfelen delvis ut varandra.)

Jag önskar att jag hade en stor filt – tiotusen fot lång

Som på en gång kunde täcka

Varje fläck av staden.

Så skrev Bo Juyi, en kinesisk poet på Tang-tiden. Vi har i vår fantasi använt fem filtar, tusen mil långa och breda. De täckte hela jorden.

ATT MINNAS (5)	Jordens area är 5 gånger 1000 mil gånger 1000 mil.

ÖVERSLAG 20.

Hur stor area skulle var och en få om man delade jorden lika?

Förvandlar du milen till kilometer blir det åtta nollor i jordens area, medan det är nio nollor i befolkningstalet, som man dividerar med. Eftersom femman i täljaren och sjuan i nämnaren är praktiskt taget lika blir det bara 10 kvar i nämnaren när man även har förkortat bort nollorna. En tiondels kvadratkilometer skulle var och en få. En sådan area har man om man gör tio strimlor av en kvadrat som är en kilometer lång och en kilometer bred, och sen tar en av dessa strimlor. Kan du föreställa dig din jordlott, med hav och land, med polaris och öknar? Knappast, men ytans storlek kan man tänka sig, 100 meter gånger 1000 meter.

ÖVERSLAG 21.

Är folktätheten i Sverige högre eller lägre än jordens folktäthet?

Om vi uppskattar att Sverige är 1500 km långt och 300 km brett, är ytan en halv miljon kvadratkilometer. Tio miljoner pers på en halv miljon kvadratkilometer – det är som tjugo miljoner på en miljon kvadratkilometer (dubbla ytan – dubbelt så många människor). Miljonerna tar ut varandra, så folktätheten är 20 per kvadratkilometer. Det är mer än jorden, där det bor typ 10 pers per kvadratkilometer, om man slår ut befolkningen även på haven. Om man gör den mera rättvisa jämförelsen att räkna folktätheten på land blir talet för jorden mer än dubblad, och är därmed lik Sveriges.

ÖVERSLAG 22.

Hur mycket rent sötvatten bildas dagligen på jorden? Hur mycket blir det för varje människa?

Rent sötvatten bildas genom att vatten och fuktighet från marken och haven avdunstar och sen regnar ned. Vi kan antingen uppskatta avdunstningen eller uppskatta nederbörden. Resultaten bör bli lika, eftersom det inte just finns några andra vägar i vattnets kretslopp.

När det gäller avdunstning har man erfarenheten att vattenpölar på en asfaltplan torkar in och att innehållet i ett dricksglas som blivit stående någon vecka sjunker med flera centimeter. Samtidigt är stora delar av marken så torra så att det inte avdunstar just någonting från dem. Det kan vara svårt att uppskatta hur stor del som är torr och hur ofta en plats är torr och blöt. Låt oss därför försöka uppskatta regnmängderna istället.

I fråga om regnande är det bäst att tänka sig en längre tid, så att man får med både regnskurar och uppehållsväder och snö. Hur många millimeter blir det på ett år? Man kan tänka sig en tunna som står fritt och som får samla in allt som regnar på den. Man täcker den mellan skurarna så att inget avdunstar. Blir den full på ett år, eller halvfull? Hur mycket är det per dag?

Låt oss säga att vår uppskattning är en millimeter per dag. Om den nederbörd och avdunstning vi har erfarenhet av är representativa för jorden, får vi volymen genom att multiplicera med jordens area. 5 · 10⁸ kvadratkilometer · 1 millimeter = 5 · 10¹⁴ · 0,001 kubikmeter = 5 · 10¹¹ kubikmeter. Per person blir det 100 kubikmeter per dag. (När man ska relatera det talet till sin personliga erfarenhet får man, som alltid, komma ihåg att det som sker inom hemmets väggar inte är allt här i världen. Vore allt tillgängligt som badvatten skulle det förslå långt, men sötvatten behövs till både fisken i sjöarna, till odlingar och skogar, och mycket mer. Å andra sidan används en del av det mer än en gång under sitt kretslopp.)

Sextionde breddgraden och kartavstånd

ÖVERSLAG 23.

Hur långt är Ryssland?

Räknar man meridianerna ser man att Ryssland sträcker sig nästan halva varvet runt jorden. När det är middag i Kaliningrad i väster är det nästan midnatt vid Berings sund. Betyder det att Ryssland är lika långt som halvvägs kring jorden, ”ettusen mil och sen ettusen till”? – Nej. Ryssland ligger inte mitt om jorden, så som ekvatorn, meridianerna och andra storcirklar, utan som en betydligt mindre ring, rätt långt uppe vid nordpolen, vid ungefär 60:de breddgraden. Breddgradscirklarna (parallellcirklarna) kallas lillcirklar (alla utom ekvatorn) eftersom de är mindre än storcirklarna.

Just den sextionde breddgraden, som går genom Oslo, Uppsala, Raseborg, Petersburg, Alaska och Kap Farvel, är en mycket speciell cirkel, för den är precis hälften så lång som ekvatorn. Ryssland skulle alltså vara ettusen och inte tvåtusen mil långt.

Men man kan fråga sig om man inte borde räkna Ryssland som ännu kortare. Vi har räknat längden längs lillcirkeln, och den är krokig. Det kanske är en praktisk angivelse när det gäller ett land som är krokigt, men för det mesta brukar man räkna ett lands längd som avståndet mellan dess ändar. Om man för Ryssland drar kortaste vägen från ena spetsen till den andra går den nästan rätt över nordpolen. Avståndet blir i så fall 30/90 av 1000 mil gånger två, vilket är cirka 600 mil. Man får alltså bestämma vad man menar med längd, fågelvägen mellan ändarna eller som när man talar om längden på en hopringlad orm.

Det är alltså vid 60 grader och inte halvvägs upp från ekvatorn till polen, vid 45 grader, som man har denna speciella egenskap att parallellcirkeln är hälften. Jordytan är ju inte som en strut däremellan, utan välver sig så att man till en början kan bege sig ganska långt från ekvatorn utan att man kommer särskilt mycket närmare jordaxeln. Först senare börjar det ta in på allvar.

Allt det här kan verka självklart när man har jordgloben framför sig, men om man tittar på en världskarta i stället kan man bli förvillad. Det kartograferna gör när de gör om jordens buktiga yta till kartans plana pappersbild är att de tänjer ut vissa delar, ofta de långt uppe i norr. I den manövern kan Ryssland mycket väl bli utdraget till sin dubbla längd och dess krokighet kan försvinna. Därför får man vara mycket försiktig med världskartor när man ska bedöma avstånd, arealer och riktningar.

ÖVERSLAG 24.

Hur långt är det från Umeå till Luleå?

Råkar man ha jordgloben framför sig och kan urskilja avståndet, om det så bara är en millimeter, kan man tänka ut hur många gånger det går i pol-ekvatoravståndet och sen dividera 1000 mil med det. Men med korta avstånd i bekanta trakter är det ibland lättare att relatera till någon bilresa man har erfarenhet av och där man hållit reda på körsträckan. Vid tågresor brukar man inte hålla reda på sträckan utan snarare räkna på timmar, och då kan man räkna med 100 kilometer per timme som tåget är igång. Så, hur många timmar tar det att resa mellan Umeå och Luleå?

Man kan också visualisera en karta över Norden eller ett ännu mindre avsnitt av jordytan. En sådan karta kan man lita på. Buktigheten för ett så pass begränsat utsnitt av jorden är inte så stort att kartograferna behövt förvanska avstånden så mycket som med en världskarta.

Hastigheter

När man ser blixten brukar man räkna 1-2-3-4… ända tills dundret kommer fram. Då får man reda på hur långt man är från platsen där blixt och dunder uppstod, för ljuset går fram ohyggligt snabbt medan ljudet tar tre sekunder för varje kilometer. Om man alltså hinner räkna till sex betyder det att åskan var två kilometer bort.

ATT MINNAS (6)	Ljudets hastighet är ca 300 meter per sekund.

Snabba passagerarflygplan brukar gå strax under ljudhastigheten, för vid ljudhastigheten blir det obehagliga vibrationer i flygplanskroppen. Militära plan gasar ibland på så att de snabbt tar sig förbi den hastigheten och sen kan köra lugnt vid mycket högre hastigheter.

ÖVERSLAG 25.

Solen går upp i öster, vandrar över himlen och går på kvällen ner i väster. Är det möjligt att med flygplan sätta efter solen, hinna upp den och i fullt solsken flyga jorden runt?

Ja, det är möjligt att flyga ikapp solen, om man bara gör rundflygningen tillräckligt nära polen, så att den lillcirkel man följer när man flyger västerut runt jorden blir tillräckligt liten. Men om man då måste hålla sig mycket nära polen är det tveksamt om solen verkligen gick upp, och om den vandrade ”över himlen”, som det stod i frågan. Det kanske mera var så att den släpade sig längs horisonten. Låt oss räkna på 60 breddgraden, som de flesta av läsarna har erfarenhet av. Här går solen förvisso upp och ner, i synnerhet på sommaren. För att hålla jämn fart med solen måste planet flyga 2000 mil på ett solvarv, vilket är mindre än 100 mil per timme, 1000 km/h. Jämför det med ljudet som varje sekund går 300 meter. Det blir 60 · 60 · 300 meter per timme, vilket är lite mer än 1000 km/h. Kunde planet hålla ljudhastigheten, skulle det nätt och jämt vinna över solen, men med ett passagerarflygplan som går lite långsammare än ljudet är det bäst att anställa sin jakt på solen i väster lite längre upp i norr. Svar: Det är möjligt. (Många håller reda på att antalet meter per sekund gånger 3.6 = antal kilometer i timmen. Gör man det så går de sista stegen i uträkningen smidigare. Om man inte har så stora krav på noggrannhet kan man räkna som att de två enheterna är ungefär samma sak.)

Täthet

Täthet är detsamma som densitet. En liter väger ett kg. Det gäller synnerligen väl för vatten.

Det gäller ganska väl för andra vätskor också, både för sådant som mjölk som mest består av vatten, och för bensin etc. Det är bara för kvicksilver och andra smälta metaller man får ta sig i akt så att det inte blir för stora fel i ens överslagsberäkningar.

Räknar man grovt kan man ta ett kilo per liter också för fasta ämnen. Sten är bland de tyngsta icke-metallerna. Granit har en densitet som ligger på nästan 3 kg/liter. Det kan man räkna med om man tycker det blir för grovt med 1 kg/liter. Tegel är lättare. För nästan alla metaller kommer man närmare sanningen om man multiplicerar vattentätheten med tio. Det gäller stål och koppar men också de supertunga uran och guld. Jorden har en densitet nära 5, liksom andra fasta himlakroppar i vårt solsystem. För cellplast och andra högporösa material är det dumt att räkna 1 kg/liter. Föreställ dig i stället hur ett cellplastblock flyter på vattnet. Hur stor del är under vattnet? Är det en tiondel, då är densiteten en tiondel av vattnets.

För gaser kan man inte ta en liter som ett kilo. I en gas ligger inte molekylerna tätt tillsammans utan på ett avstånd som är ca tio gånger molekylernas diameter. Om man i fantasin skulle totalfylla allt detta tomrum mellan gasmolekylerna skulle det alltså rymmas tio gånger så många på längden, tio gånger så många på bredden och tio gånger så många på höjden. Det betyder att flytande vatten är tusen gånger så tätt som en gas.

Regeln för gaser är alltså: Dela vattnets täthet med tusen. I stället för 1 kg/liter blir det 1 g/liter. Eller om man räknar på 1 kg, då fyller den mängden upp en hel kubikmeter, och inte en kubikdecimeter som flytande vatten. Detta gäller med mycket god noggrannhet för de flesta gaser som syre, kväve och luft men också hyggligt för andra – om trycket är normalt och temperatur inte är extrem. Undantag är väte och helium, som är mycket lättare.

ATT MINNAS (7)	Tätheten för fasta och flytande material är ungefär 1 kg/liter.

ATT MINNAS (8)	Tätheten för gaser är ungefär 1 kg/kubikmeter. (Det är 1 g/liter).

ÖVERSLAG 26.

Hur mycket väger luften i en cykelring?

Först funderar vi ut hur stor volymen är. Tänk dig att du har klippt upp cykelslangen och häller i vatten. Ryms det en kopp, en liter, en hink? – Låt oss säga en liter. En liter vatten väger ett kilogram, en liter luft en tusendel därav, alltså ett gram.

Eller är trycket månntro så högt att man inte kan räkna med det vanliga, att tätheten är en tusendel av vattnets? Tänk efter hur du gör när du pumpar cykeln: Du pressar ihop luftvolymen inne i pumpen. Från början har den tätheten 1 gram per liter. När man pressat ihop den halvvägs är den dubbelt så tät – 2 g/liter. Fortfarande pyser ingen luft in i cykelringen. Först när man pressat ihop luften i pumpkolven till en fjärdedel av den ursprungliga volymen går luften in. Det skulle betyda att den liter luft vi har inne i slangen väger 4 gram. Om man ska kunna resonera så här måste man ha tänkt sig att man har ”kulventil” och inte ventil med ventilgummi, för den senare sorten gör så stort motstånd att det behövs mycket högre tryck i pumpen än man har i cykelslangen. Eftersom det inte är detaljerna vi är ute efter, så nöjer vi oss med att säga att luften i cykelslangen väger typ några gram.

Atmosfären och haven

Om du från din skoltid råkar komma ihåg hur högt jordens högsta berg är, så kan det vara en lämplig referens när vi talar om atmosfärens tjocklek. Himalaya är nästan en mil högt – inte mycket när man på jordgloben jämför det med tusen mil från pol till ekvator.

Uppe på Himalaya brukar det vara fullt solsken, det vill säga molnen brukar hålla sig lägre än en mil. Flygplan går däremot ofta på en mils höjd.

Atmosfärens tjocklek

När man diskuterar globala klimatproblem behöver man jämföra utsläppsmängder med hela atmosfärens volym. Vi vet arean på jordytan, så för att få atmosfärvolymen ska vi multiplicera den med luftlagrets tjocklek. Nu är det svårt att bestämt säga hur tjock atmosfären är, eftersom den tunnar ut gradvis. I böcker och på nätet brukar man hitta mycket stora värden, och atmosfären indelad i troposfär, stratosfär, jonosfär, men allt detta är ganska oviktigt när man ska räkna på blandningsförhållanden, eftersom det är så försvinnande tunn luft i de högsta skikten att de inte bidrar med särskilt många atomer. I själva verket behöver man inte gå högre än upp på berget Himalaya för att uppleva att tätheten är nere i hälften. Om tätheten fortsatte ner i samma takt skulle den vara nere i noll vid dubbla Himalayahöjden, och i praktiken är den det nästan också. Så man skulle kunna räkna atmosfärtjockleken som dubbla Himalayahöjden och som medeltryck ta det som är uppe på Himalaya. Men man kan också räkna om det till ett luftskikt lika tätt som här nere. Då blir det hälften så tjockt, alltså som Himalaya, en mil.

Ett minnesknep för personer med erfarenhet av dykning: Dyker man tio meter ner under vattnet ökar trycket till det dubbla jämfört med uppe på land. (En luftfylld ballong skrumpnar till exempel till halva sin volym 10 m under vattenytan.) Det visar att all den luft som trycker på oss motsvarar 10 meter av vatten. Eftersom luftens täthet, som vi lärde oss tidigare, är en tusendel av vattnets, är luftskiktets tjocklek 1000 gånger 10 m, d.v.s. 10 km.

ATT MINNAS (9)	Atmosfären kan ses som en luftmängd som är en mil tjock och har tätheten 1 kg per kubikmeter.

Havens djup

Stora områden av världshaven är ca 4 km djupa, och det är också det genomsnittliga djupet. Man kan minnas det genom att tänka sig att man kapar Himalaya i basen längs med havsytans nivå och sedan ställer berget på havets botten. Då kan man föreställa sig hur halva höjden sticker upp.

Man kan också minnas det genom att tänka på att luften täcker hela jordytan med ett en mil tjockt skikt medan vattnet täcker drygt halva ytan med ett skikt som är knappt hälften så tjockt.

ATT MINNAS (10)	Världshavens medeldjup är 4 km.

ÖVERSLAG 27.

Hur mycket vatten rymmer haven?

Vi minns att jordytan är 5 · 10⁸ kvadratkilometer. Havsytan är mer än hälften: 3 · 10⁸ kvadratkilometer. Multiplicerat med medeldjupet blir det 12 · 10⁸ kubikkilometer. (Den tolvan vill vi kanske inte avrunda till 10, för 10 skulle det bli om haven täckte precis halva jordytan, och vi vet att haven täcker mer, men med tanke på att djupet 4 km är så osäkert kan det vara klokt att ge ett ganska generöst intervall: "10⁹ kubikkilometer eller kanske det dubbla".)

ÖVERSLAG 28.

Kan det vara så att en stor del av världens vatten finns i moln, sjöar och floder eller som grundvatten?

Atmosfären är visserligen dubbelt så tjock som världshaven är djupa, men molnen fyller ju bara en liten del av den och är därtill inte på långt när så täta som haven, så molnens vatten måste vara en obetydlig del av havens. (Samma resonemang gäller för övrigt fuktigheten i luften.) Floder och sjöar kan man se på jordgloben, att de har obetydlig area jämfört med haven. Vi vet också att små sjöar, som inte syns på jordgloben, även om de må vara många, sällan upptar större yta än landet mellan dem. Och de kan inte vara djupare än haven. Det tillsammans övertygar oss om att sjöarnas volym är mycket mindre än havens.

Slutligen har vi grundvattnet, det vill säga vatten mellan markpartiklarna, ända ner till sprickfri berggrund. Vi vet att berget ofta sticker upp i dagen. Det verkar därför otroligt att berggrundens djup under markytan i genomsnitt skulle vara många gånger havens djup, vilket skulle behövas för att vattnet som bara fyller upp markens porer skulle kunna mäta sig med havens volymer.

Alltså är svaret på frågan: Nej, det finns mycket mera vatten i haven.

ÖVERSLAG 29.

Hur stor del av jordens vatten är fruset?

Största arealerna av is finns i Arktis, Antarktis och på Grönland. Om man försöker se dessa areor framför sig på jordgloben kommer man fram till att de tillsammans är betydligt mindre än en av de lappar vi behövde fem av för att täcka hela jorden, och tre av för att täcka haven. Det kanske behövs en tredjedels lapp för isen. Det betyder att en tiondel av vattenytan är frusen. Om det nu råkade sig så att istäcket var lika tjockt som vattnet i haven, då kunde vi direkt säga att en tiondel av jordens vatten är fruset. (Det som finns i moln, sjöar, floder och grundvatten är försumbart, såg vi ovan.)

Har vi någon aning om istäckenas tjocklek? Som världens högsta berg brukar man ange Himalaya och inte någon istopp i Arktis, Antarktis eller på Grönland, så dessa tre isslätter sticker nog upp betydligt mindre än 10 km. Sen är frågan hur djupt ner de går. Antarktis och Grönland har ”land” under isen, alltså någonting som är över havsytans nivå. Bara Arktis’ is kan sträcka sig djupt under den nivån. Havsytan är i snitt 4 km över botten. Detta tillsammans gör väl att vi kan våga oss på en gissning att istäcket är högst några kilometer tjockt, dvs mindre än havens medeldjup, och att det således antagligen är mycket mindre än en tiondel som är fruset. (De som har räknat noga på detta brukar säga att de frusna delarna utgör 2 procent av jordens vatten. Vi ser alltså att man kan skatta någotsånär även helt utan kunskaper i glaciologi.)

ÖVERSLAG 30.

Jordens volym

När vi talade om jordens area föreställde vi oss att vi täckte jordglobens yta med kvadratiska tyglappar vilkas kanter var som avståndet pol-ekvator (filtarna), och vi fann att det behövdes fem lappar, om man snålar med tyget. Nu ska vi tänka på samma lappar – eller låt dem gärna vara lite styvare, så att man kan bygga en kubisk ask av dem. Frågan är nu: Skulle jordens volym rymmas i denna ask? Vi får tänka oss att vi formar om jordgloben så att den passar, som en bulldeg som vi trycker till så att den blir kubisk. Ryms den i tusenmilakuben?

Om du har svårt att avgöra frågan så är det förklarligt. De är mycket nära lika stora – så nära att man lätt minns detta sammanträffande när man en gång har tänkt på det, även om det inte är så hemskt viktigt att komma ihåg. Jordens volym är alltså 1000 mil gånger 1000 mil gånger 1000 mil, det vill säga en miljard kubikmil.

ÖVERSLAG 31.

Enligt en ofta citerad tumregel är atmosfären en tusendel av hydrosfären, som i sin tur är en tusendel av geosfären. Kan det stämma?

Man kan genast se att det inte stämmer om man räknar på volym. Vattenskiktet i havet är bara hälften så tjockt som luftskiktet, och haven täcker dessutom bara en del av jordytan. Det finns alltså mer luft än vatten, inte mindre som regeln säger.

Räknar man däremot på massor (vikter) får man dela luftvolymen med tusen och då stämmer tumregeln något så när vad gäller gasen och vätskan. Det blir bara fel med en faktor 2 för att skikten inte är lika tjocka och en annan faktor, på mindre än 2, för att vattenskiktet inte är heltäckande.

Sen får vi titta på den fasta delen av jorden. Volymen är enligt föregående överslag som en kub med kantlängden 1000 mil, medan vätskevolymen är som tre kvadratiska tusenmilablock som är en halv mil tjocka. Eftersom jordens densitet är fem gånger vattnets, får man en jämförelse av massorna genom att ta fem kuber i stället för en. Fem kuber och tre block betyder drygt en kub per block. Två kanter är lika i kuben och blocket. Massorna förhåller sig därför ungefär som blockets tredje kant, en halv mil, till kubens kant, 1000 mil. Förhållandet är 1:2000, varför vi kan godkänna tumregeln som säger 1:1000.

ÖVERSLAG 32.

Hur mycket blir det åt var och en om alla människor delar jordens vatten och luft lika?

Vatten: Enligt ovan ca 10⁹ kubikkilometer vatten att dela på 7 · 10⁹ personer. Det blir någonting sådant som en sjundedels kubikkilometer vatten per person.

Luft: Vi kan utgå från denna personliga volym av vatten för att beräkna var och ens lufttilldelning. Jämfört med jordens vattenskikt är luftskiktet dubbelt så tjockt och sträcker sig även över land, så volymen blir ca 4 gånger så stor som vattenvolymen, det vill säga nästan en kubikkilometer.

Ett alternativt sätt att räkna: Jordytan täckt av ett 10 km tjockt luftskikt ger volymen 5 · 10⁸ · 10 kubikkilometer luft. Delat på 7 · 10⁹ blir det lite mindre än en kubikkilometer per person.

Ett tredje sätt att räkna: Tänk på din privata tomt som du får när man delar jordens areal lika. Vilken area har den? Luften som hör till sträcker sig en mil upp.

Biosfärens produktion

ÖVERSLAG 33.

Hur stor del av jordytan behövs för att försörja befolkningen?

Återkalla i minnet hur stor del av jordytan det blev när man delade den jämnt mellan alla. Tänk dig nu att du odlar upp en del av din areal. Det spelar inte så stor roll vilken gröda du väljer. Har du erfarenhet av vinbärsplockning tänker du dig att du planterar ut vinbärsbuskar. Hur stor yta tar en buske? Hur många liter vinbär får du från den per år? Hur många buskar behövs för att du ska få i dig 1 kg mat per dag? Du behöver inte tänka dig att du lever på bara vinbär hela året, för vinbären var bara en utgångspunkt för räknandet. Skillnaden i avkastning mellan olika växter är inte så stor att det spelar någon större roll i ett grovt överslag som det här är frågan om. Tycker du det är lättare att tänka i morötter, gör det. Här ger jag en variant:

Sädesstråna i en präktig åker står 5 cm tätt. På en kvadratmeter stor yta kan det bli 20 på längden och 20 på bredden, d.v.s. 400 strån. Varje strå bär ett ax med några kubikcentimeter frön, d.v.s. något gram. Per kvadratmeter blir det alltså ett kilogram.

På ett år äter du typ 365 kg. Du behöver alltså odla upp 365 kvadratmeter av din mark som är ungefär en tiondels kvadratkilometer (100 000 kvadratmeter). Det är fyra promille. Det är räknat på hela din tomt, som ju delvis består av hav.

Kolet i biomassa och i koldioxid

I detta avsnitt gör vi grova överslag. Vi räknar med att stearin, biomassa och koldioxid håller samma halt kol. Vi struntar således både i att vattenhalten är olika och att molekylerna i torrsubstansen innehåller olika mycket av andra grundämnen än kol. Felet blir knappast någonsin ens en faktor fyra, vilket är mindre än de fel vi får räkna med i en del uppskattningar av arealer och avkastningar.

Att vi vill göra beräkningar trots att vi inte kan förvänta oss värst hög precision är för att frågorna om kolet på jorden är för viktiga för att diskuteras utan förståelse för proportionerna. Högst sannolikt kommer jordens klimat att ändras drastiskt om det tillkommer en koldioxidmängd som är någon tiondels promille av hela atmosfären. De processer som skapar klimatet är mycket komplexa, så för att över huvud taget kunna göra några bedömningar är man hänvisad till förenklingar. När man ändå förenklar kan även grova överslag rörande det man känner till vara belysande. Samtidigt får man vara medveten om att det finns andra faktorer som är svårare att bedöma, i synnerhet från en lekmannasynpunkt som den det här är frågan om.

ÖVERSLAG 34.

Hur hög kan koldioxidhalten bli i ett rum i juletid när man har många stearinljus brinnande?

Antag att rummet är 25 kvadratmeter och två meter i tak. Vi vädrar inte alls på ett dygn och eldar upp ett kilogram stearinljus under det dygnet. Stearinet består mest av kol, som efter förbränning finns i koldioxiden. Om vi tar lätt på proportionsdetaljerna kan vi säga att 1 kg stearin ger något kilogram koldioxid, en mängd som skulle fylla upp cirka en kubikmeter. Utspritt i rummet som är 2 · 25 kubikmeter blir koncentrationen 1/50 = 2 procent.

ÖVERSLAG 35.

Vilket är mer, gräset på en äng eller träden på en lika stor areal skog?

Tänk dig att vi mejar ner gräset. Hur tjockt skikt med gräs blir det på marken?

Hur tjockt skikt med trä det blir om man avverkar skogsdungen är lite svårare att föreställa sig. Låt oss säga att träden växer i rutmönster på 4 meters avstånd. Antag först att träden bara är 4 meter höga. I så fall skulle man efter avverkningen kunna dra samman dem med topp mot rotända, den ena stammen efter den andra så att man fick långa obrutna rader, med fyra meters avstånd. Om man sen ändrar förutsättningarna så att träden är fyra gånger så långa, vilket är mer rimligt, kommer stammarna att ligga fyra gånger så tätt, d.v.s. på metersavstånd. Vi antar att träden är halvmetertjocka, vilket kan förefalla mycket, men vi räknar ju inte bara på stammarna utan försöker få med grenarna i räkningen också. Halvmeter tjocka trän och en halv meters lucka. För att fylla ut hela arealen blir det ett 25 cm skikt om träden är fyrkantiga i tvärsnitt, annars lite mindre. Det är mer än det slagna gräset på ängen blir, om det är ordentligt hoppackat.

Och det är väl vad man kan vänta sig. Skogen har ju haft femtio år längre tid på sig att växa, och under den tiden har bara lite barr och kvistar multnat bort, medan en hel del av kolet de samlat på sig från luften finns kvar i stammarna.

ÖVERSLAG 36.

Om all skog i världen brann upp, hur mycket skulle luftens koldioxidhalt öka?

Liksom tidigare om stearinet i julljusen, kan vi säga att koldioxidens massa blir ungefär den samma som den uppbrunna skogens massa. Vore koldioxiden i flytande form skulle också densiteten vara lika för de två och koldioxiden skulle alltså täcka brandplatsen med ett par decimeter tjockt skikt, precis som de fällda träden gjorde. Bredde man ut det skiktet jämnt över jordytan skulle det väl bli bara någon centimeter, eftersom ju knappast ens en tiondel av jordytan är täckt med skog. Om man på samma sätt förtätade atmosfären, för att lätt kunna jämföra den med koldioxiden, skulle den krympa tusen gånger, till 10 meters tjocklek. En centimeter jämfört med tio meter är en tusendel. Den bildade koldioxiden är alltså en tusendel av atmosfären. Vår uppskattning är alltså att koldioxidhalten skulle öka med någon promilleenhet om all skog brann upp

Luftens koldioxidhalt har ökat under de senaste seklerna. För att kunna jämföra mängden koldioxid i luften med andra kolhaltiga substanser är det lämpligt att hålla reda på hur hög koldioxidhalten är för närvarande.

ATT MINNAS (11)	Luftens nuvarande koldioxidhalt är 0,4 promille.

ÖVERSLAG 37.

Om man vill sänka jordens koldioxidhalt till 1800-talsnivå, som var 0,3 promille, genom att binda kolet i trädstammar, hur mycket skulle man då få utöka skogsarealen?

I föregående överslag uppskattade vi att all nuvarande skog motsvarar en promilleenhet av koldioxid i luften och att den täcker en tiondel av jordytan. Den utökning av nuvarande skogsareal som behövs för att reducera koldioxiden med en tiondels promilleenhet blir då en tiondel av en tiondel, vilket är en hundradel av jordytan. Det är 5 · 10⁴ kvadratmil. En så stor nytillkommen skogsyta skulle alltså kunna binda den tiondels promilleenhet koldioxid som tillkommit under 1900-talet, när skogen har växt upp.

ÖVERSLAG 38.

Det har i diskussionen framförts att man kunde lagra den under 1900-talet frisläppta koldioxiden i bergrum. Hur stora bergrum skulle behövas?

Enligt ovan var den nettokoldioxidmängd som frisläpptes under 1900-talet en tiondels promille av luften, alltså en tiotusendel. Atmosfärens höjd delad med 10 000 ger höjden en meter, så om bergrummet är en meter i takhöjd, skulle det få sträcka sig över hela jordens yta. Det skulle ju minst sagt underminera oss, så vi ökar på takhöjden. Hundra meter höga bergrum skulle sträcka sig under en hundradel av jordytan.

Allt detta gäller om man lagrar koldioxiden som gas vid normalt atmosfärtryck. Om vi komprimerar den eller kyler den så att den blir tusen gånger så tät (flytande eller fast) skulle bergrummen kunna vara en tusendel så små.

ÖVERSLAG 39.

Ett annat förslag för lösandet av koldioxidproblemet är att med skogsodling binda kolet i trä och sen bygga hus av träet. Hur mycket hus blev det för var och en, utöver det nuvarande husbeståndet?

Vi har uppskattat att det bor typ 10 pers per kvadratkilometer. Vi har också uppskattat att koldioxiden från all världens skog skulle bli en promille av luften och i komprimerat skick bilda ett centimeters skikt över jorden, och alltså även ett centimeters skikt över min privata tiondels kvadratkilometer. Kunde vi förvandla en tiondel därav till husvirke vore det nog för att nedbringa koldioxidhalten till 1800-talsnivå. Det är en millimeter. Denna millimeter tjocka träskiva har jag för mitt husbygge. En kilometer lång och hundra meter bred är skivan. Väljer jag decimetertjockt virke i stället för millimetertjockt blir skivan 10 meter gånger 100 meter. Ett så stort, och bastant, tak skulle det kunna bli, men eftersom jag vill ha lite väggar också blir huset antagligen mindre än tusen kvadratmeter.

Ett alternativt sätt att uppskatta hur mycket virke varje människa måste göra slut på: Koldioxidökningen under 1900-talet beror på att fossila bränslen har förbrukats. Föreställ dig hur mycket bensin, kol och olja som du och dina förfäder har förbrukat under 1900-talet. Ungefär samma volym i trä har du att bygga med.

ÖVERSLAG 40.

Enligt en uppgift släpptes det under 1997 ut 23 000 Mton koldioxid från fossila bränslen. Kan det stämma?

Det har gått så pass lång tid att jordens folkmängden kanske har ändrats, men felet blir litet om vi som vanligt räknar med sju miljarder. Uppdelat på sju miljarder personer blir det 3 ton per pers, men vad säger det egentligen? En villaägare som har oljeeldning kanske jämför det med sin oljekonsumtion, en bilist med sin bensinförbrukning, men i ett sådant här fall är det vanskligt att dra globala slutsatser från det som händer i ett hushåll. En stor del av bränsleförbrukningen sker i fabriker och andra anläggningar och förbrukningen är högst olika för olika människor.

Låt oss i stället jämföra denna uppgift med det vi tidigare räknade med – att koldioxidhalten under 1900-talet steg från 0,3 till 0,4 promille. Den tillkomna koldioxidmängden under dessa hundra år är tiotusendelen av luftens volym som är 5 · 10¹⁴ · 10 000 kubikmeter. Utslaget på seklets hundra år blir det hundradelen. Det är 5 · 10¹² kilogram = 5000 Mton. Det stämmer mycket bra med uppgiften om 23 000 Mton under 1997. Utsläppen har ju ökat under hela nittonhundratalet, så i slutet av 90-talet bör värdet vara någon eller några gånger högre än medelvärdet. Dessutom kan man tänka sig att en del av den koldioxid som har släppts ut har lösts i havens vatten.

ÖVERSLAG 41.

Enligt en uppgift är jordens biomassaproduktion ”55 · 109 ton oljeekvivalenter per år hållbart”. Enligt en annan uppgift är den årliga biomassaproduktionen 200 000 Mton. Kan dessa uppgifter stämma?

Biomassa betyder all levande substans. Först kan vi konstatera att uppgifterna är rätt lika, 55 respektive 200 gigaton. Skillnaden kan dels bero på att man räknat om den ena till olja som är lite energitätare och koltätare än biomassa, och räknat med hållbar produktion. Det är inte heller utsagt om biomassan har räknats som torrvikt eller som färsk vikt. Så här fina skillnader har vi ingen chans att ta ställning till med våra biomassauppskattningar. Det är så många saker vi får höfta till, så för att kunna vara säkra på att en uppgift är fel måste vårt överslag ligga minst en faktor 100 ifrån.

En uppfattning om jordens biomassaproduktion får vi om vi tänker oss att jordens yta är bevuxen med säd som ger 1 kg per kvadratmeter. Vi räknade på det som livsmedel tidigare. Halmen och kanske rötter tillkommer men ändrar inte så mycket på resultatet. Det blir en miljon kg per kvadratkilometer. På hela jordytan blir biomassaproduktionen 10⁶ · 5 · 10⁸ kg, om hav, berg, öknar och djungler etc i genomsnitt producerade lika mycket som vårt tänkta sädesfält. Det är 500 Gton, vilket ligger nära de givna uppgifterna.

Ett alternativt sätt att uppskatta mängden: Vi har tidigare föreställt oss att vi mejar ner gräset på en äng. En centimeter tjockt ligger det kanske när vi har trampat till det. Om hela jorden producerade som den ängen blev volymen 10⁶ · 5 · 10⁸ kvadratmeter gånger en centimeter, vilket är 5 · 10¹² kubikmeter eller lika många ton. Alltså 5000 Gton, vilket är mera men inte tillräckligt långt ifrån de givna uppgifterna för att ge oss anledning att avfärda dem. Snarast får vi fundera över om vår uppskattning av grässkikts tjocklek är så tillförlitlig. Kanske borde vi ha trampat till gräset hårdare innan vi mätte skikttjockleken. Kanske ängen vi tänkte på inte var representativ för all jordens växtlighet.

ÖVERSLAG 42.

Hur hög blir koldioxidhalten i ett rum där en människa vistas ett dygn?

När vi tidigare diskuterade koldioxidproduktionen från brinnande stearinljus antog vi ett 50 kubikmeters rum och ett kilogram stearin per dygn. Vi gör detsamma nu; vi bara byter ut stearinet mot ett kilogram mat per dygn, som är vad en människa brukar äta och förbränna. Ett kilo av det ena och ett kilo av det andra, och grovt räknat ger det något kilo koldioxid i bägge fallen. Utslaget på rummets 50 kilogram luft blir det 2 procent. (De 0,4 promille man hade innan i det nyvädrade rummet är försumbara i sammanhanget.)

ÖVERSLAG 43.

Hur hög brukar koldioxidhalten vara i luften jag andas ut?

Jag äter ett kilogram mat per dygn, vilket ger något kilo koldioxid när den förbränns i kroppen. Det portioneras ut på alla mina andetag under ett dygn. Volymen på ett andetag kan man kolla genom att andas ut i en plastpåse. Säg att det är en liter. Med 20 andetag i minuten blir det 20 · 60 · 24 liter luft per dygn, vilket är 30 000 liter och väger trettio kilogram. 1 kg / 30 kg = 3 procent.

Föda och energi

Vi har diskuterat växtlighetens betydelse för att binda kol så att inte koldioxidhalten i luften blir för hög. Vi har förstås också nytta av växterna för att de ger oss energi, både i bränsle och i mat.

Hur mycket energi biomassa ger kan man läsa på ett livsmedelspaket. Det brukar vara angivet i måttsenheten kilojoule och avse 100 gram av livsmedlet i fråga. Man kan lämpligtvis tänka på hundra gram när det gäller energiinnehåll, så att man får hjälp av sina minnesbilder från matförpackningar när man ska komma ihåg talen. Gör man så får man också daglig repetition, om man till exempel har paketet med frukostflingor framför sig på bordet.

Man finner att värdet är en bit över 1000 kilojoule för alla mjöler, gryner, torkade ärter, knäckebröd – allt sådant som består mest av kolhydrat och har låg vattenhalt. Lika mycket energi – ca 1000 kilojoule ger hundra gram ved, torv eller halm när den brinner. Fett ger ungefär dubbelt så mycket som kolhydrat, och mineraloljor och bensin ytterligare lite mer. Vid grov räkning kan man ofta räkna med 1000 kJ/100 g överlag. Det är bara om vattenhalten är hög som man får vara lite försiktig. Man kan då föreställa sig att man lägger maten – eller gräset eller vad det gäller – i solen och uppskatta hur mycket vikten minskar vid torkningen. Det är torrsubstansen som ger energi.

ATT MINNAS (12)	Hundra gram torrt bränsle eller livsmedel ger drygt 1000 kilojoule energi.

Vad energimängden 1 joule kan göra

Först ska vi relatera energimängden 1 joule till elektricitet. Elapparater och lampor brukar vara märkta med hur många watt de drar, det vill säga effekten. En joule förmår ge exakt effekten 1 watt under en sekund. En 6 watts lampa som är tänd i två sekunder hinner alltså förbruka 12 joule. Joule är detsamma som wattsekunder (Ws). När man köper el brukar kan man använda måttet wattimmar (Wh), som är 60 · 60 wattsekunder = 3600 joule = 3,6 kilojoule.

ATT MINNAS (13)	En joule ger exakt effekten 1 watt under en sekund.

ÖVERSLAG 44.

Hur mycket ved måste man elda i spisen för att få samma värmeproduktion som ett 1000 watts värmeelement ger under en timme?

Elementet ger 1 kilowattimme = 3600 kilowattsekunder = 3600 kilojoule. Jämför man det med talet som står på grynpaketet så ser man att det är tredubbelt. Grynpaketssiffran avser 100 gram, så vedåtgången blir 300 gram.

ÖVERSLAG 45.

Hur många watts effekt är det på en människa?

Människan är en ineffektiv maskin i det att hon, liksom hushållsmaskiner och glödlampor, använder det mesta av den tillförda energin för värmeproduktion, även om man avsett att få ut nyttigt arbete eller belysning. Därför får vi en uppfattning om människans energiförbrukning genom att jämföra hur varm hon är med en glödlampa. Tänk dig att du stoppar in en lampa i en plastdunk stor som en människa. Hur stark ska lampan vara för att yttemperaturen ska bli som för en människa?

Ett alternativt sätt: Räkna på maten en människa äter dagligen. Det är ca tio hundragramsportioner, var och en med energiinnehållet 1000 kilojoule. Det är tio miljoner joule, eller 10 000 000 wattsekunder. På ett dygn är det 60 · 60 · 24 sekunder, vilket är ungefär 100 000 sekunder, så varje sekund förbrukar människan 10 000 000 / 100 000 joule = 100 joule. 100 joule per sekund = 100 watt.

När energi används till att lyfta något får man hålla reda på att en joule förmår lyfta 100 gram en meter. Det gäller med stor noggrannhet överallt på jordens yta men till exempel på månen kan en joule lyfta en hundragramsgrej mycket högre.

ATT MINNAS (14)	En joule lyfter 100 gram en meter.

ÖVERSLAG 46.

Hur mycket frukostflingor måste man äta för att få energi att klättra upp på Himalaya?

Man väger 100 kg med packning och ska klättra 10 000 meter upp. Det går åt 1000 · 10 000 joule = 10 000 kJ. Jämfört med vad det står på paketet med flingor är det knappt tio gånger energin i den 100 grams portion texten avser, så knappt ett kilogram är vad man får äta utöver vad man brukar äta utan klättring. (Vi har då inte räknat med den energi som krävs för att man ska producera värme utöver det vanliga, vilket man brukar göra vid klättring. Därför är det oklokt att basera matsäcksplaneringen på denna överslagsräkning allenast.)

Energi brukar ge värme. Även när man eftersträvar lyftning eller annat arbete brukar en del av energin bli värme. En viss energimängd kan antingen göra en stor materiamängd ljummen eller en liten mängd het. En tumregel är att en joule kan värma 1 gram materia 1 grad. Detta gäller med rätt god noggrannhet för både gaser, vätskor och fasta ämnen, utom för metaller med hög täthet. (Vi minns att många metaller har täthet närmare 10 kg/liter än 1 kg/liter, som är det vanliga för fasta och flytande material. Ett kilogram av dessa metaller är därför ganska små klumpar, och det behövs inte heller mer än 1/10 joule för att värma dem en grad. Så energibehovet beror snarare på volymen än vikten när det gäller metallerna.) Mest avvikande åt andra hållet är vatten, som kräver hela 4 joule per gram för att varmna en grad.

ATT MINNAS (15)	En joule höjer temperaturen hos 1 gram materia med 1 grad. (För ett gram vatten blir temperaturhöjningen bara ¼ grad.)

ÖVERSLAG 47.

Hur mycket varmare blir luften i ett 50 kubikmeters rum om man bränner 1 kg stearinljus där?

Om stearinets värmevärde är jämförbart med fetthaltiga livsmedel (3000 kilojoule per hundra gram), bildas det 30 000 kilojoule. I rummet är 50 kg luft, varför luften skulle bli 600 grader varmare om det var enbart den som värmdes. Nu tar också väggarna upp värme, och det material i dem som värms väger betydligt mer än luften i rummet. Det skikt av väggen som är allra närmast rummet får samma temperatur som rumsluften, medan djupare skikt kanske har helt annan temperatur. Därför är det mycket svårt att uppskatta vad lufttemperaturen blir.

ÖVERSLAG 48.

Enligt uppgift innehåller en liter bensin cirka 35 miljoner joule (35000 kilojoule). Låter det rimligt?

Vi kontrollräknar. Vi har lärt oss att 100 g kolhydrat ger mer än 1000 kilojoule = 1000 000 juole, fett ger det dubbla och bensin ytterligare mer. Ett annat resonemang övertygar kanske dem som har ingående erfarenhet av motorfordon i branta backar: Varje joule kan lyfta 100 gram en meter, så för att lyfta en 1000 kilograms bil en meter skulle det krävas 10 000 joule. 35 miljoner dividerat med 10 000 = 3500 ger antalet meter som bilen skulle lyftas. Det innebär att man skulle kunna köra till en 3,5 km högre belägen plats på en liter bensin – om motorn fungerade utan energiförluster och likaså däckens rullning på underlaget. Det låter inte helt omöjligt.

Vinklar och avstånd

Månens och solens skivor ser lika stora ut på himlen. Det är därför de passar så väl ihop att månen precis kan täcka solen vid solförmörkelse. Man ser dem under en vinkel om en halv grad. (Två stycken månar blir en grad, så för att bilda ett pärlband upp över himlavalvet och ner till horisonterna – 180 grader – behövs det 360 månar.)

Man kan ha nytta av att veta detta om månens diameter för att formulera följande tumregel, praktisk när man ska bedöma hur långt avståndet är till ett flygplan: Om planet ser ut att vara stort som solens eller månens diameter, då förhåller det sig så att avståndet är hundra gånger planets längd.

Hur ska man förstå och komma ihåg detta? Tänk först på en liksidig triangel. I en sådan är vinklarna 60 grader. (60 + 60 + 60 = 180). Så om du står på ett flygfält vid ett 20 meter långt flygplan så att du är 20 meter från nosen och 20 meter från stjärten, då ser du planet under en vinkel som är 60 grader. (För att vara 20 meter från mer centrala delar får du flytta dig en aning längre bort, och vinkeln blir lite mindre än 60 grader.) Flyttar man sig sedan 10 gånger så långt bort blir vinkeln tiondelen – knappt 6 grader – och när planet är hundra gånger sin längd ifrån dig blir vinkeln knappa 0,6 grader, och det råkar vara ungefär som solens och månens diameter.

ATT MINNAS (16)	Solens och månens skivor syns på himlen under vinkeln 0,5 grader.

ATT MINNAS (17)	Ett objekt som är 10 gånger sin egen längd ifrån dig syns under vinkeln 5,7 grader, är det 100 gånger sin längd ifrån dig blir vinkeln 0,57 grader o.s.v.

ÖVERSLAG 49.

Du är på väg till en plats som ligger nära en 70 meter hög kommunikationsmast. Månen dyker upp intill masten och du ser masten hög som tre måndiametrar. Hur lång väg har du kvar att färdas?

En måndiameter skulle betyda att masten var drygt 100 gånger 70 meter, dvs drygt sju kilometer bort. Tre måndiametrar betyder att vi är närmare: 7 km delat med 3 är mer än två kilometer. Vi svarar kanske "två och en halv kilometer".

ÖVERSLAG 50.

Hur stort är ett moln?

Har du tur är det en solig dag och molnet far förbi solen och du står på ett fält där du ser dess skugga i sin helhet. Då gäller det bara att i ett visst ögonblick lägga märke till var skuggans ändar befinner sig och sen gå och stega upp avståndet. Eftersom solen är så mycket, mycket längre bort än molnet är skuggan lika stor som molnet.

Låt oss säga att du inte har sån tur; det är mulet eller molnet är inte åt samma håll som solen, från dig sett. Om det då blåser kan du kanske ändå uppskatta molnets storlek. Du drar dig till minnes hur snabbt molnens skuggor brukar jaga fram över fälten när vindstyrkan är densamma som nu. Kan man cykla ikapp dem? Hur många meter per sekund går en cykel? Det kanske tar tio sekunder att cykla femtio meter – alltså 5 m/s. Man kan också höra på radio hur snabb vinden är. Om vinden går lika snabbt uppe där molnet är, då siktar man in molnets nos och räknar hur många sekunder det tar för hela molnet att dra förbi den siktpunkten. Hur långt cyklar du på så många sekunder?

ÖVERSLAG 51.

Jag ser ett passagerarplan dra förbi i skyn. Jag sträcker ut min arm och konstaterar att det tar sex sekunder för planet att passera över min näve, från lillfingerknogen till pekfingerknogen. Hur långt ifrån mig är planet?

Ett jetplan går nästan så snabbt som ljudet: På 1-2-3-4-5-6 sekunder går det nästan två kilometer, och det såg ut som min näve, 10 centimeter. Min arm är 50 centimeter lång, alltså fem gånger min näve. Proportionen mellan min arm och min näve är också proportionen mellan planets avstånd till mig och dess sexsekundersfärd. Fem gånger två kilometer är tio kilometer.

Man kan också tänka så här: Om planet styrde rakt mot mig skulle det nå fram på 6 · 5 = 30 sekunder. I fråga om åskan skulle 30 sekunder betyda tio kilometer. Nu får man anta att planet går lite långsammare än ljudet, om det är ett passagerarplan, så låt oss säga att det är åtta kilometer bort.

Småsaker

Den som läser denna text (och inte använder specialdatorskärm) kan se det som är en millimeter stort (bokstäverna) och kanske också tiondels millimeter (finstilta ä-prickar). Där, vid tiondels millimeter går gränsen för det obeväpnade ögats seende. Med förstoringsglas når man ner en tiopotens till. Med mikroskop, som består av flera linser, kommer man ner ytterligare en tiopotens, till tusendels millimeter. Sen är det stopp. Man kan konstruera ljusmikroskop som förstorar både 1000 gånger och mer, men man ser inga fler detaljer med dem, bara stora suddiga blaffor där man annars hade sett prickar. Det är ljusets våglängd som sätter gräns. Det är med ljusets hjälp man ser och liksom man inte kan måla fina detaljer med en grov pensel kan man inte se det som är kortare än ljusets våglängd, som är lite mindre än en tusendels millimeter. En tusendels millimeter kallas mikrometer (µm).

ATT MINNAS (18)	Ljusets våglängd är litet mindre än en tusendels millimeter.

Alla celler i både växter och djur är större än en mikrometer och kan alltså ses i mikroskop. Bakterier är också celler, men de är lite mindre än djurs och växters celler. De är kring en mikrometer stora och ligger alltså nära gränsen för vad man kan se i ett ljusmikroskop. Med ljusmikroskop menas ett vanligt mikroskop, med lampa eller spegel och med linser av glas, ett sådant som finns i skolornas biologisalar.

Det finns också elektronmikroskop. De är stora anläggningar. Med dem kan man se sådant som är mycket mindre än ljusets våglängd, till exempel virus.

ATT MINNAS (19)	Bakterier är ungefär en tusendels millimeter stora.

ÖVERSLAG 51.

Enligt uppgift i Nationalencyklopedin innehåller 1 gram åkerjord 108 – 5 · 109 bakterier. Kan det stämma?

Den högre av de angivna siffrorna är nästan som jordens folkmängd, flera miljarder. En miljard packade bakterier (nio nollor) skulle kunna vara en kub med tusen bakterier på längden, tusen på bredden och tusen på höjden. En sådan bakteriekub har kanten 1 mm. Fem sådana kuber är den maximalt angivna mängden. Den ryms gott och väl i ett gram åkerjord, som fyller upp typ en kubikcentimeter.

Metoderna vi använt

Vi har nu med eget räknande lyckats ta fram en massa uppgifter – 52 stycken – som vi annars hade haft ett sjå att söka efter – om geografi, mikrobiologi, fysik, kemi, jordbruk, skogsbruk, meteorologi. Det vi behövde var nitton tal och en del klurighet. De nitton talen är sammanfattade i slutet. Nu ska vi försöka sammanfatta vari vår klurighet består – några av de metoder vi använt.

– Vi fantiserar med synbilder och konkretiserar. Vi försöker se problemet framför oss och mobilisera vår erfarenhet. Vi frågar ”hur stort?”, ”hur brett?”, ”hur många?”. Om vi känner att vi inte vet försöker vi sätta gränser uppåt och neråt: ”I varje fall inte mer än hundra apelsiner i veckan”, ”I varje fall inte mindre än än en mikrometer”. Vi försöker vrida och vända på de saker vi ser för vår inre syn, och jämföra dem med varandra: ”Hur många kvadrater med sidan som pol-ekvatorsavståndet behövs för att täcka jorden.”

– Vi använder förenklade begrepp. Man behöver inte trassla in sig i tabeller över densitet eller räkningar med formler med π om man inte vill eller har krav på hög noggrannhet. Cirkelns area är ungefär längd gånger bredd, liksom kvadratens. De flesta vätskor har ungefär samma densitet.

– Vi tänker oss luften komprimerad tusen gånger så att dess densitet blir lik den som trä, mat och annat icke-gasformat har. Då kan man jämföra volymerna, som är lätta att se framför sig istället för att jämföra massor, som blir väl abstrakta så snart de inte ryms på någon våg man har erfarenhet av.

– Vi försöker hitta jämvikter, konstans eller kretslopp. Vattnet på jorden dunstar och regnar ner, dunstar och regnar, ständigt och jämt, men dess totalmängd är ungefär densamma hela tiden. Detsamma gäller kolet. Det kretsar mellan atmosfärens koldioxid och biomassan i växter och djur. Människan färdas mellan födelse och död och i det långa loppet dör lika många som det föds. Det underlättar räknandet om man kan hitta sådan konstans. Det kanske är lättare att uppskatta regnmängd än avdunstningsmängd. Det kanske är lättare att uppskatta antalet döda än antalet födda. Tror vi att det råder jämvikt kan vi dra vida slutsatser, men vi får akta oss för att tillskriva verkligheten kretsloppsegenskaper eller stabilitet bara för att det gör vårt räknande lätt. Ofta är det vettigt att börja räkna på jämviktsfallet och sen i nästa steg försöka analysera hur stora avvikelserna från jämvikt är.

– Vi skiktar det globala jämnt över jordytan. Det är hopplöst att minnas stora tal, och även att jämföra dem och dra slutsatser av dem kan vara svårt. När det gäller globala mängduppgifter – världens samlade oljereserver, skogsresurser, vattentillgång – blir det lättare om vi föreställer oss att vi brer ut hela mängden i ett jämntjockt skikt över jordytan och ser framför oss hur tjockt skiktet blir: Atmosfären, som är tio kilometer, är i komprimerad form tio meter, varav koldioxiden är fyra millimeter. Vi har tänkt oss en träskiva och en filt som täcker hela jorden, och så vidare.

– Vi delar upp på alla jordens människor. När globala mängder är så pass små att ett skikt över jordytan inte ens blir en millimeter kan det vara bättre att portionera ut mängden på alla jordens människor. Det kan gälla årsskörd, industriell produktion eller konsumtion. Talen blir hanterliga, inte minst för att man då kan jämföra dem med sin privata produktion, konsumtion och sitt ägande. I vissa fall kan man dra globala slutsatser från sin individuella erfarenhet, men man får inte bortse från all den verksamhet som inte sker i hushållen utan samfällt, i fabriker och i andra produktionsanläggningar, och allt det som inte organiseras av människor. Parcellering av hela jordytan i sju miljarder lotter, så att varje lott blir en tiondels kvadratkilometer, är bra att utgå ifrån i många sammanhang, men att sedan börja föreställa sig hur man odlar upp och gör anläggningar på en sådan tomt, för att därav dra slutsatser för jorden för helhet, är ganska meningslöst.

– Vi delar upp och radar på längden, bredden och höjden. Man har ganska bra känsla för längder. Det är inte död aritmetik när man vet att det går 10 mm på en cm, 10 cm på en dm o.s,v. upp till minst 10 mil. Man kan verkligen överblicka gott och väl åtta tiopotenser. Volymer däremot bedrar man sig lätt på. Man har två muggar och tycker kanske att den stora är dubbelt så stor som den lilla, men om den är både dubbelt så hög, dubbelt så bred och även dubbel på andra breddleden, så är den i själva verket åtta gånger. Detta med de tre dimensionerna gör att man får så oöverskådligt stora tal när man fråga hur många gånger en liten volym ryms i en stor – hur många teskedar i en hink, hur många celler i en hjärna. Genom att betrakta dimensionerna separat kan vi få klarhet. Vi kan också använda detta förhållande för att göra stora tal överskådliga. Vi tar det stora talet och skriver det som en produkt av tre tal, som säger hur många som ska radas på längden, hur många rader det är på bredden och hur många skikt av rader det är på höjden. Vi har till exempel skapat oss en uppfattning om Sveriges folkmängd genom att tänka oss hur många granbarr man får rada upp och hur stor trave det blir om varje invånare ska ha ett barr.

– Vi låter en grupp av människor representera alla människor. Man kan inte alltid gå från det individuella till det globala bara genom att multiplicera sina egna förhållanden med sju miljarder. Som individ är man inte representativ i alla avseenden. Då blir det ibland bättre om man utgår ifrån en grupp man känner istället. Antalet vänsterhänta personer i världen kan man uppskatta utifrån hur många det brukar vara i en skolklass, eftersom andelen är densamma i olika åldrar och olika delar av världen. Vill man ha en mer åldersblandad grupp kan man kanske utgå ifrån gruppen av alla sina grannar.

– Vi låter ett människoliv representera en samling av olika gamla personer. Är det frågan om något som varierar starkt över åldern kan man istället för att räkna på många individer räkna på en individs samtliga levnadsår. Hur många högstadieelever finns det i världen? frågar någon. Man har själv gått på högstadium i tre år av sina 60 levnadsår, d.v.s. 5 procent. Eftersom jordens befolkning är åldersblandad går uppskattningsvis 5 procent av den i högstadium i år. Trehundra miljoner, svarar man.

Efterord

Vi har gjort ett antal uppskattningar. En del var enkla, andra krävde många steg och klurighet. Ingen var beräkningsmässigt svår. Det gällde bara att hålla reda på nollorna.

Uppskattningarna har visat, dels på vidden av vad man kan ta reda på med räkning, dels gett lite övning på några centrala områden kring vatten och kol på jorden, kring materians täthet och kring möjligheten att relatera det globala till sin individuella erfarenhet.

Resultaten har ibland legat en bit ifrån de verkliga värdena. När avvikelsen har varit stor har det nämnts, i andra fall bör det ha framgått hur grovt vi skattat de uppgifter vi utgått ifrån, och då kan man förvänta sig att det blir ungefär lika grovt i slutändan. Det hade inte varit svårt att frisera uppskattningarna för att få bättre överensstämmelse med vad man kan slå upp i en bok eller hitta på nätet, men vi har inte velat ge tillrättalagda exempel. Det ska framgå att man ofta – men inte alltid – kan göra goda uppskattningar även med minimal fackkunskap.

Man ska lita på sitt omdöme – ända tills man vet var det brast, varvid man alltså har fått det ersatt med ett bättre omdöme. Att det står något annat i en bok förringar inte värdet av det vi har räknat fram. Det vi själv har räknat ut förstår vi; det vi har läst kan vi bara tro eller tvivla på.

Det är också orsaken till att vi inte har gett någon facit. Var skulle vi förresten fått facitsvaren från? Från några böcker eller nätsidor. Hur vet vi att det stämmer som står där? Genom att kontrollräkna, och redovisa räkningarna för läsaren. Men det är ju det vi redan gjort. Vi har räknat grovt, men ska man ge svar med större noggrannhet får man göra en hel del specificeringar utöver det som stod i frågan, och det är utom ramen för en facit.

Är du undrande över något får du visa dina räkningar för någon annan och räkna tillsammans. I någon uppslagsbok eller någonstans på nätet kan ni säkert hitta någon intressant uppgift att jämföra med. Sen får ni se om ni tror mera på den eller på er egen räkning. Man kan bli lite kaxig av att räkna.

Nitton tal man behöver för att göra alla kalkyler vi gjort hittills och många, många fler

1) 7 Gpers bor det på jorden

2) 200 stater finns det (varav 2 miljardstater, 35 hundramiljonstater, 100 tiomiljonstater)

3) 70 är procentsats gånger fördubblingstid

4) 1000 mil är det från pol till ekvator (Vi for med bil / ettusen mil...)

5) 5 · 10⁸ km² är jordens area (Fem kvadratiska tusenmilafiltar)

6) 300 m/s går ljudet (1-2-3 från blixt 1 km bort till knall. Alternativ minns man att ljudets hastighet är ca 1000 km/h)

7) I storleksordningen 1 kg/liter väger de flesta vätskor och många fasta ämnen

8) 1 kg/m³ väger gaser (Gasatomerna på tio gångers avstånd)

9) 1 mil tjock är atmosfären (Som Himalayas högsta topp)

10) 4 km djupa är haven i snitt (Halva Himalaya)

11) 0,04 % koldioxidhalten i luften

12) >1000 kJ ger 100 gram kolhydrat vid förbränning (Läs på en livsmedelsförpackning)

13) 1 watt presteras under en sekund av en joule (W = J/s, Ws = J)

14) 100 gram lyfts en meter av en joule

15) I storleksordningen 1 gram värms en grad av en joule

16) 0,5 grader är mån- och solskivan ur vår synvinkel (360 månar i ett pärlband över himlen)

17) 100 gånger storleken är avståndet till det som syns under en halv grads vinkel (En liksidig triangel har 60 graders vinklar)

18) 1 µm är ljusets våglängd (Som en bakterie)

19) 1 µm stora brukar bakterier vara (Syns nätt och jämt i mikroskop.Hundradels ä-prick.)

SLUT

Appendix

Vill du ge ett bidrag till denna bok men är osäker på var det skulle passa in i dispositionen, då kan du lägga in det här i appendixet tills vidare.

Elkostnad

Att kunna uppskatta års eller månadskostnaden för till exempel en glödlampa eller annan elförbrukare kan ju vara bra. Börja med att uppskatta hur länge en kiloWatt-timme (kWh) räcker. En kWh är en förbrukning av 1000 Watt i en timme. Eller 500 Watt i två timmar. Eller 100 Watt i 10 timmar. Alltså kan man dela 1000 med med aktuell energiförbrukning (i detta fall en glödlampa, säg 60 W) för att få reda på hur länge en kWh räcker. Eller räkna ut hur många många timmar en 60 wattslampa ska lysa för att komma upp i 1000 W (1 kW). 10 gånger 60 är 600 och 5 gånger 60 är 300 summa 900 så uppskattningsvis 16 timmar användning förbrukar en kWh. En lampa som lyser 8 h/dygn förbrukar då en kWh på två dygn, 15 kWh i månaden eller ca: 180 kWh på ett år. En kWh kostar ungefär en krona så det blir 180 kr på ett år. Är den på jämt så blir det 3 x 180 = 540 kr/år. Eller så uppskattar man antalet timmar på ett år. 24 timmar x 365 dygn. Ta antalet timmar x 4 blir ca: 100. 100 x 365 ger 36500 och dela detta med 4 ger ca: 9000 timmar på ett år. 9000/16 ger antalet kWh för en 60 Wattslampa. 500 x 16 blir ju 8000 så det blir nog 540 kWh nu också. Plus att lampan troligtvis måste bytas en eller ett par gånger à 10 kr. Slutsats: Det kostar att ha nattlampa eller lura tjuven-belysning.

Vill du ge ett bidrag till denna bok men är osäker på var det skulle passa in i dispositionen, då kan du lägga in det här i appendixet tills vidare.