User:JUANLEAL

DERIVADAS Y RAZON DE CAMBIO

Derivar:

1)$\ (x^{2})(cos(x))+(x^{2})(cos(x))^{2}$

             = $\ (2xcosx)-(x^{2}senx)$

2)$\ cos^{5}(2x^{2}-1)$

                =$\ 5cos^{4}(-sen(2x^{2}-1))(4x)$

3)$\ (3x-2x^{2})(5-4x)$

               =$\ (3x-2)(4)+(5+4x)(3-4x)p$
               =$\ (12x-8x^{2})(15-8x-16x^{2})$
               =$\ -24x^{2}+4x+15$

4)${\frac {2x^{2}-4x+3}{2-3x}}$

                =${\frac {(4x-4)(2-3x)-(2x^{2}-4x+3)(-3)}{(2-3x)^{2}}}$
                =${\frac {(-12x^{2}+20x-8)-(-6x^{2}+12x-9)}{(2-3)^{2}}}$
                =${\frac {(-6x^{2}+8x+1)}{(2-3x)^{2}}}$

5) ${\frac {3x^{2}-1}{4x+3}}$

                =${\frac {6x(4x+3)-(3x^{2}-1)4}{(4x+3)^{2}}}$
                =${\frac {12x^{2}+18x+4}{(4x+3)^{2}}}$

6)$\ (x^{3}-3x^{2}+10x)^{1}0$

                =$\ 10(x^{3}-3x^{2}+10x)^{9}.(3x^{2}-6x+10)$

7)${\frac {3}{(4x^{3}+11x)^{3}}}$

               =${\frac {-3(4x^{3}+11x)^{3}}{((4x^{3}+11x)^{2})^{2}}}$
               =${\frac {-9(12x^{2}+11)}{(4x^{3}+11)^{4}}}$

8)$\ sen(3x^{2}+11x)$

                =$\ cos(3x^{2}+11x).(6x+11)$

9)$\ sen^{3}x$

                =$\ 3sen^{2}x.cosx$

10)sen ${\frac {3x-1}{2x+5}}$

                =sen ${\frac {3x-1}{2x+5}}$ 
                =cos ${\frac {3x-1}{2x+5}}$\frac{13}{(2x+5)^2}</math>

11)$\ (2x-1)^{3}.(x^{2}-3)^{2}$

               =$\ (2x-1)^{3}.(x^{2}+3)^{2}+(2x-1).(x^{2}-3)^{2}$
               = 3 $\ (2x-1)^{2}.(2).(x^{2}-3)^{2}+(2x-1).2(x^{2}-3).(2x)$

12)${\frac {senx}{cos2x}}$

               = 3 ${\frac {senx}{cos2x}}$. ${\frac {(cosx).(cos2x)-(senx).(-sen2x)}{(cos2x)^{2}}}$

13)Suponga que:

               $\ f(2)=4$ 
               $\ f*(4)=6$ 
               $\ f*(2)=-2$

HALLAR:

13.1) $\ (f(x))^{3}$ en x=2

                       =$\ (f(2))^{3}$
                       =$\ (4)^{3}$
                       =$\ 3(4)^{2}$
                       =$\ 48$

13.2)${\frac {3}{f(x)}}$ en x=2

                       =${\frac {3}{f(2)}}$
                       =${\frac {3}{4}}$

RAZON DE CAMBIO

1- Con que rapidez baja el nivel de un fluido contenido en un tanque cilìndrico, si bombeamos hacia afuera el fluido, a razón de : 3.000 l/min?

R: DATOS:

  $\ M^{3}$: 1000 LITROS
  $\ r$: constante
  $\ H(t)$: ?
  ${\frac {Dv}{Dt}}$: -3000 l/min
  ${\frac {Dh}{Dt}}$: PREGUNTA DEL PROBLEMA

TENIENDO LOS DATOS CLAROS , PODEMOS HALLAR ECUALCIONES:

$\ V$ :&pi.$\ r^{2}$ . $\ h$ = VOLUMEN DEL CILINDRO

= ${\frac {Dv}{Dt}}$ : 1000&pi. $\ r^{2}$

= -3000 :1000&pi .$\ r^{2}$. ${\frac {Dh}{Dt}}$

= ${\frac {-3}{pi(r^{2})}}$ : ${\frac {Dh}{Dt}}:{\frac {-3}{pi(r^{2})}}m/min$

2-una patrulla de policía, al acercarce a una intersección en angulo recto desde el norte,está siguiendo a un auto que ha dado la vuelta a la esquina y se mueve hacia el éste,cuando la patrulla está a 0.6km al norte, el otro auto està a 0.8km al éste.La policia determina con el radar que la distancia entr ellos aumenta a razón de 20kmph. sí la patrulla se mueve a 60kmph en eéste instante, cual es la velocidad del otro auto?

  R: DATOS: 

  X(T) :0.6KM
  Y(T) :0.8KM
  ${\frac {Dz}{Dt}}$: 20kmph 
  ${\frac {Dx}{Dt}}$: -60kmph
  ${\frac {Dy}{Dt}}$: pregunta del problema

sabiendo esto, entonces:

   Z:(0.6)^2+(0.8)^2 : 1

= 2Z.${\frac {Dx}{Dz}}$: 2X ${\frac {Dx}{Dt}}$ + 2Y .${\frac {Dy}{Dt}}$

= ${\frac {2(20)-2(0.6)(-60)}{2(0.8)}}$ : ${\frac {Dy}{Dt}}$

=${\frac {Dy}{Dt}}$ : 70kmph

3-SE VIERTE AGUA EN UN TANQUE CÓNICO A RAZÓN DE 9M/MIN, EL TANQUE TIENE SU VÉRTICE ABAJO Y TIENE UNA ALTURA DE 10F Y UN RADIO DE LA BASE DE 5M3, ¿CON QUE RAÌDEZ SE ESTA ELEVANDO EL NIVEL DEL AGUA, CUANDO LA PROFUNDIADA ES DE 6F?

DATOS:

    V:1/3PI.r^2.h
    Dv/Dt: 9M3/MIN
    Dh/Dt:? Pregunta del problema
    H:10m
    R:5m3
    H:6F

SABIENDO ESTO, ENTONCES:

=V: ${\frac {1}{3}}.PI.r^{2}.h$ 
 V: ${\frac {1}{12}}.PI.h^{3}$
 Dv/Dt: ${\frac {1}{12}}.PI.3h^{2}.$. Dh/Dt
 Dh/Dt:${\frac {1}{PI}}$  F/m