# User:JUANLEAL

## DERIVADAS Y RAZON DE CAMBIO

Derivar:

1)${\displaystyle \ (x^{2})(cos(x))+(x^{2})(cos(x))^{2}}$

             = ${\displaystyle \ (2xcosx)-(x^{2}senx)}$


2)${\displaystyle \ cos^{5}(2x^{2}-1)}$

                =${\displaystyle \ 5cos^{4}(-sen(2x^{2}-1))(4x)}$


3)${\displaystyle \ (3x-2x^{2})(5-4x)}$

               =${\displaystyle \ (3x-2)(4)+(5+4x)(3-4x)p}$
=${\displaystyle \ (12x-8x^{2})(15-8x-16x^{2})}$
=${\displaystyle \ -24x^{2}+4x+15}$



4)${\displaystyle {\frac {2x^{2}-4x+3}{2-3x}}}$

                =${\displaystyle {\frac {(4x-4)(2-3x)-(2x^{2}-4x+3)(-3)}{(2-3x)^{2}}}}$
=${\displaystyle {\frac {(-12x^{2}+20x-8)-(-6x^{2}+12x-9)}{(2-3)^{2}}}}$
=${\displaystyle {\frac {(-6x^{2}+8x+1)}{(2-3x)^{2}}}}$


5) ${\displaystyle {\frac {3x^{2}-1}{4x+3}}}$

                =${\displaystyle {\frac {6x(4x+3)-(3x^{2}-1)4}{(4x+3)^{2}}}}$
=${\displaystyle {\frac {12x^{2}+18x+4}{(4x+3)^{2}}}}$


6)${\displaystyle \ (x^{3}-3x^{2}+10x)^{1}0}$

                =${\displaystyle \ 10(x^{3}-3x^{2}+10x)^{9}.(3x^{2}-6x+10)}$


7)${\displaystyle {\frac {3}{(4x^{3}+11x)^{3}}}}$

               =${\displaystyle {\frac {-3(4x^{3}+11x)^{3}}{((4x^{3}+11x)^{2})^{2}}}}$
=${\displaystyle {\frac {-9(12x^{2}+11)}{(4x^{3}+11)^{4}}}}$


8)${\displaystyle \ sen(3x^{2}+11x)}$

                =${\displaystyle \ cos(3x^{2}+11x).(6x+11)}$


9)${\displaystyle \ sen^{3}x}$

                =${\displaystyle \ 3sen^{2}x.cosx}$


10)sen ${\displaystyle {\frac {3x-1}{2x+5}}}$

                =sen ${\displaystyle {\frac {3x-1}{2x+5}}}$
=cos ${\displaystyle {\frac {3x-1}{2x+5}}}$\frac{13}{(2x+5)^2}[/itex]


11)${\displaystyle \ (2x-1)^{3}.(x^{2}-3)^{2}}$

               =${\displaystyle \ (2x-1)^{3}.(x^{2}+3)^{2}+(2x-1).(x^{2}-3)^{2}}$
= 3 ${\displaystyle \ (2x-1)^{2}.(2).(x^{2}-3)^{2}+(2x-1).2(x^{2}-3).(2x)}$


12)${\displaystyle {\frac {senx}{cos2x}}}$

               = 3 ${\displaystyle {\frac {senx}{cos2x}}}$. ${\displaystyle {\frac {(cosx).(cos2x)-(senx).(-sen2x)}{(cos2x)^{2}}}}$


13)Suponga que:

               ${\displaystyle \ f(2)=4}$
${\displaystyle \ f*(4)=6}$
${\displaystyle \ f*(2)=-2}$


HALLAR:

13.1) ${\displaystyle \ (f(x))^{3}}$ en x=2

                       =${\displaystyle \ (f(2))^{3}}$
=${\displaystyle \ (4)^{3}}$
=${\displaystyle \ 3(4)^{2}}$
=${\displaystyle \ 48}$


13.2)${\displaystyle {\frac {3}{f(x)}}}$ en x=2

                       =${\displaystyle {\frac {3}{f(2)}}}$
=${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$


RAZON DE CAMBIO


1- Con que rapidez baja el nivel de un fluido contenido en un tanque cilìndrico, si bombeamos hacia afuera el fluido, a razón de : 3.000 l/min?

R: DATOS:

  ${\displaystyle \ M^{3}}$: 1000 LITROS
${\displaystyle \ r}$: constante
${\displaystyle \ H(t)}$: ?
${\displaystyle {\frac {Dv}{Dt}}}$: -3000 l/min
${\displaystyle {\frac {Dh}{Dt}}}$: PREGUNTA DEL PROBLEMA


TENIENDO LOS DATOS CLAROS , PODEMOS HALLAR ECUALCIONES:

${\displaystyle \ V}$ :&pi.${\displaystyle \ r^{2}}$ . ${\displaystyle \ h}$ = VOLUMEN DEL CILINDRO

= ${\displaystyle {\frac {Dv}{Dt}}}$ : 1000&pi. ${\displaystyle \ r^{2}}$

= -3000 :1000&pi .${\displaystyle \ r^{2}}$. ${\displaystyle {\frac {Dh}{Dt}}}$

= ${\displaystyle {\frac {-3}{pi(r^{2})}}}$ : ${\displaystyle {\frac {Dh}{Dt}}:{\frac {-3}{pi(r^{2})}}m/min}$

2-una patrulla de policía, al acercarce a una intersección en angulo recto desde el norte,está siguiendo a un auto que ha dado la vuelta a la esquina y se mueve hacia el éste,cuando la patrulla está a 0.6km al norte, el otro auto està a 0.8km al éste.La policia determina con el radar que la distancia entr ellos aumenta a razón de 20kmph. sí la patrulla se mueve a 60kmph en eéste instante, cual es la velocidad del otro auto?

  R: DATOS:

  X(T) :0.6KM
Y(T) :0.8KM
${\displaystyle {\frac {Dz}{Dt}}}$: 20kmph
${\displaystyle {\frac {Dx}{Dt}}}$: -60kmph
${\displaystyle {\frac {Dy}{Dt}}}$: pregunta del problema


sabiendo esto, entonces:

   Z:(0.6)^2+(0.8)^2 : 1


= 2Z.${\displaystyle {\frac {Dx}{Dz}}}$: 2X ${\displaystyle {\frac {Dx}{Dt}}}$ + 2Y .${\displaystyle {\frac {Dy}{Dt}}}$

= ${\displaystyle {\frac {2(20)-2(0.6)(-60)}{2(0.8)}}}$ : ${\displaystyle {\frac {Dy}{Dt}}}$

=${\displaystyle {\frac {Dy}{Dt}}}$ : 70kmph

3-SE VIERTE AGUA EN UN TANQUE CÓNICO A RAZÓN DE 9M/MIN, EL TANQUE TIENE SU VÉRTICE ABAJO Y TIENE UNA ALTURA DE 10F Y UN RADIO DE LA BASE DE 5M3, ¿CON QUE RAÌDEZ SE ESTA ELEVANDO EL NIVEL DEL AGUA, CUANDO LA PROFUNDIADA ES DE 6F?

DATOS:

    V:1/3PI.r^2.h
Dv/Dt: 9M3/MIN
Dh/Dt:? Pregunta del problema
H:10m
R:5m3
H:6F


SABIENDO ESTO, ENTONCES:

=V: ${\displaystyle {\frac {1}{3}}.PI.r^{2}.h}$
V: ${\displaystyle {\frac {1}{12}}.PI.h^{3}}$
Dv/Dt: ${\displaystyle {\frac {1}{12}}.PI.3h^{2}.}$. Dh/Dt
Dh/Dt:${\displaystyle {\frac {1}{PI}}}$  F/m