User:"Pablo Quintero"

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Axiomas[edit]


Los siguientes ejercicios fueron tomados del Libro "Calculus de Thomas Apostol".


Demuestre:


1. a.0=0.a=0

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

a\in \mathbb R

Por existencia de neutros, podemos sumar un 0 a a.0 y sigue siendo a.0

a.0+0=a.0

Con el fin de aplicar propiedad transitiva, buscamos una ecuación que sea igual a a.0,(esta será demostrada mas adelante),

a.0+a.0=a.0 (*)

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a a.0,se igualan por propiedad transitiva

a.0+0=a.0+a.0

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b; podemos cancelar a.0 en ambos lados.

a.0=0


(*) a.0+a.0=a.0

Por existencia de neutros para la suma, decimos que

a.0+a.0=a.(0+0)

Por existencia neutros, decimos que 0+0=0

a.0+a.0=a.0
QED
"Pablo Quintero"


2. (-a)b=-(ab)

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

a,b\in \mathbb R

Por existencia de inversos para la suma podemos decir que

ab+(-ab)=0

Con el fin de aplicar propiedad transitiva, buscamos una ecuación que sea igual a 0, (esta será demostrada mas adelante),

ab+(-a)b=0 (*)

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a 0, se igualan por propiedad transitiva

ab+(-ab)=ab+(-a)b

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b; podemos cancelar ab en ambos lados.

-(ab)=(-a)b


(*) ab+(-a)b=0

Por propiedad distributiva podemos expresar la igualdad como

ab+(-a)b=[a+(-a)]b

Por existencia de inverso para la suma decimos que,

ab+(-a)b=[0]b

Por Teorema a.0=0.a=0, tenemos que

ab+(-a)b=0
QED
"Pablo Quintero"


3. (a/b)+(c/d)=[(ad+bc)/bd]

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

a,c\in \mathbb R

y

b,d\in \mathbb R - (0)

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad

(a/b)+(c/d)=(ab^-1)+(cd^-1)

Por existencia de neutros para la multiplicación, podemos multiplicar la expresión por 1. Este 1 se puede expresar de la forma (bd)(bd)^-1.

:<math>(ab^-1)+(cd^-1)=[(ab^-1)+(cd^-1)](bd)(bd)^-1

Por propiedad distributiva tenemos que

(ab^-1)+(cd^-1)=[(ab^-1)(bd)+(cd^-1)(bd)](bd)^-1

Por las propiedades: conmutativa, asociativa y existencia del reciproco, tenemos que

(a/b)+(c/d)=[(ad)+(bc)](ba^-1)

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a

(a/b)+(c/d)=[(ad+bc)/bd]
QED
"Pablo Quintero"


4. -0=0/(bc)

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

0\in \mathbb R

y

-0\in \mathbb R

Por existencia de inverso para la suma tenemos que

0+(-0)=0

Por existencia de neutros para la suma tenemos que

0+0=0

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a 0, se igualan por propiedad transitiva

0+(-0)=0+0

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b, cancelamos 0 en ambos lados

(-0)=0
QED
"Pablo Quintero"


5. (a-b)+(b-c)=(a-c)

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

a,b,c\in \mathbb R

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad

(a-b)+(b-c)=[a+(-b)]+[b+(-c)]

Por propiedad asociativa tenemos que

(a-b)+(b-c)=[a+[(-b)+b]]+(-c)

Por existencia de inverso para la suma tenemos que

(a-b)+(b-c)=[a+0]+(-c)</math

Por existencia de neutros para la suma tenemos que

:<math>(a-b)+(b-c)=a+(-c)

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a

(a-b)+(b-c)=(a-c)
QED
"Pablo Quintero"


6. (-a/b)=(-a)/b

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

a\in \mathbb R

y

b\in \mathbb R - (0)

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad

(-a/b)=(-ab^-1)

Por existencia de neutros para la multiplicación, podemos multiplicar la expresión por 1. Este 1 se puede expresar de la forma (b)(b^-1).

:<math>(-a/b)=(-ab^-1)(b)(b^-1)

Por propiedad asociativa tenemos que

(-a/b)=[(-ab^-1)(b)](b^-1)

Por propiedad asociativa tenemos que

(-a/b)=[(-a)[(b^-1)b]](b^-1)

Por existencia del reciproco tenemos que

(-a/b)=[(-a)(1)](b^-1)

Por existencia de neutros para la multiplicación tenemos que

(-a/b)=(-a)(b^-1)

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a

(-a/b)=(-a)/b
QED
"Pablo Quintero"



Desigualdades[edit]


Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Calculo de Edwin J. Purcell, sexta edición".


Resuelva:


1. (-6)<(2x+3)<(-1)

Respuesta:

Se suma  -3 a cada parte de desigualdad, con el fin de eliminar el 3 y despejar la variable sola

(-6-3)<(2x+3-3)<(-1-3)

Operando se obtiene

(-9)<(2x)<(-4)

Se divide por 2 a cada parte de desigualdad, con el fin de eliminar el 2 y despejar la variable sola

(-9/2)<(2x/2)<(-4/2)

Operando se obtiene

(-9/2)<(x)<(-2)

Se da el resultado en términos de intervalos

(-9/2,-2)
"Pablo Quintero"


2. (10x+1)>(8x+5)

Respuesta:

Se pasa (8x+5) al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

10x+1-8x-5>0

Operando se obtiene

2x-4>0

Se pasa el 4 al otro lado con el fin de despejar la variable

2x>4

Se pasa el 2 a dividir al otro lado con el fin de despejar la variable

x>4/2

Operando se obtiene

x>2

Se da el resultado en términos de intervalos

(2,\infty)
"Pablo Quintero"


3. (3x+5)>(7x+17)

Respuesta:

Se pasa (7x+17) al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

3x+5-7x-17>0

Operando se obtiene

-4x-12>0

Se pasa el -12 al otro lado con el fin de despejar la variable

-4x>12

Se pasa el -4 a dividir al otro lado con el fin de despejar la variable

x<-12/4

Operando se obtiene

x<-3

Se da el resultado en términos de intervalos

(-\infty,-3)
"Pablo Quintero"


4. (2+3x)<(5x+1)<(16)

Respuesta:

Se separa la desigualdad con el fin de operar con mayor facilidad

(2+3x)<(5x+1),
(5x+1)<(16)

Se pasa (5x+1) al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado. Se pasa el 1 al otro lado con el fin de despejar la variable

2+3x-5x-1<0,
5x<16-1

Operando se obtiene

1-2x<0,
5x<15

Se pasa el 1 al otro lado con el fin de despejar la variable. Se pasa a dividir el 5 al otro lado con el fin de despejar la variable

-2x<-1,
x<15/5

Se pasa a dividir el -2 al otro lado con el fin de despejar la variable

x>-1/-2,
x<15/5

Operando se obtiene

x>1/2,
x<3

Ordenando la desigualdad se obtiene

1/2<x<3

Se da el resultado en términos de intervalos

(1/2,3)
"Pablo Quintero"


5. (2x-4)<(6-7x)<(3x+6)

Respuesta:

Se separa la desigualdad con el fin de operar con mayor facilidad

(2x-4)<(6-7x),
(6-7x)<(3x+6)

Se pasa (6-7x) al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado. Se pasa (3x+6) al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

2x-4-6+7x<0,
6-7x-3x-6<0

Operando se obtiene

-10+9x<0,
-10x<0

Se pasa el -10 al otro lado con el fin de despejar la variable. Se pasa a dividir el -10 al otro lado con el fin de despejar la variable

9x<10,
x>-1/10

Se pasa a dividir el 9 al otro lado con el fin de despejar la variable

x<10/9,
x>-1/10

Ordenando la desigualdad se obtiene

-1/10<x<10/9

Se da el resultado en términos de intervalos

(-1/10,10/9)
"Pablo Quintero"


6. |x-5|<|x+1|

Respuesta:

Se eleva al cuadrado cada valor absoluto con el fin de quitar el mismo

(x-5)^2<(x+1)^2

Factorizando se obtiene

x^2-10x+25<x^2+2x+1

Se pasa ( x^2+2x+1) al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

x^2-10x+25-x^2-2x-1<0

Operando se obtiene

-12x+24<0

Se pasa el 24 al otro lado con el fin de despejar la variable

-12x<-24

Se pasa a dividir el -12 al otro lado con el fin de despejar la variable

x>-24/-12

Operando se obtiene

x>2

Se da el resultado en términos de intervalos

(2,\infty)
"Pablo Quintero"


7. |3x+3/x+1|<1

Respuesta:

Por propiedades del valor absoluto, se puede expresar la desigualdad como

|3x+3|/|x+1|<1

Se pasa a multiplicar |x+1| al otro lado con el fin de separar los valores absolutos

|3x+3|<|x+1|

Se eleva al cuadrado cada valor absoluto con el fin de quitar el mismo

(3x+3)^2<(x+1)^2

Factorizando se obtiene

x^2+6x+9<x^2+2x+1

Se pasa ( x^2+2x+1) al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

x^2+6x+9-x^2-2x-1<0

Operando se obtiene

4x+8<0

Se pasa el 8 al otro lado con el fin de despejar la variable

4x<-8

Se pasa a dividir el 4 al otro lado con el fin de despejar la variable

x<-8/4

Operando se obtiene

x<-2

Se da el resultado en términos de intervalos

(-\infty,-2)
"Pablo Quintero"



Derivadas[edit]


Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".


De las siguientes funciones, encuentre sus derivadas:


1.f(x)=\sqrt[2]{1-x^2}

Respuesta:

f'(x)=\frac {-x} {\sqrt[2]{1-x^2}}

"Pablo Quintero"

2.f(x)=\frac {x^2+x+1} {x^2-x+1}

Respuesta:

f'(x)=\frac {(2x+1)(x^2-x+1)-(2x-1)(x^2+x+1)} {(x^2-x+1)^2} f'(x)=\frac {-2(x^2-1)} {(x^2-x+1)^2}

"Pablo Quintero"

3.f(x)=\frac {xa} {x^2-a^2} + \frac {xa} {x^2+a^2}

Respuesta:

f'(x)=\frac {a(x^2-a^2)-xa(2x)} {(x^2-a^2)^2} + \frac {a(x^2+a^2)-xa(2x)} {(x^2+a^2)^2} f'(x)=\frac {-a(x^2-a^2)} {(x^2-a^2)^2} + \frac {a(x^2+a^2)} {(x^2+a^2)^2}

"Pablo Quintero"

4.f(x)=\frac {x-\sqrt[2]{x}} {x+\sqrt[2]{x}}

Respuesta:

f'(x)=\frac {(1-1/2\sqrt[2]{x})(x+\sqrt[2]{x})-(x-\sqrt[2]{x})(1-1/2\sqrt[2]{x})} {(x+\sqrt[2]{x})^2} f'(x)=\frac {2\sqrt[2]{x}+1} {(x+\sqrt[2]{x})^2}

"Pablo Quintero"

5.f(x)=\frac {2x^2+x-8} {3x+2}

Respuesta:

f'(x)=\frac{(4x+1)(3x+2)-3(2x^2+x-8)} {(3x+2)^2} f'(x)=\frac{6x^2-8x+26} {(3x+2)^2}

"Pablo Quintero"

6.f(x)=\frac {x^2*a^2} {x^3+a^3}

Respuesta:

f'(x)=\frac {2xa^2(x^3+a^3)-3x^2(x^2*a^2)} {(x^3+a^3)^2} f'(x)=\frac {xa^2(2a^3-x^3)} {(x^3+a^3)^2}

"Pablo Quintero"

7.f(x)=\sqrt[2]{(\frac {x+1}{x-1})^3}

Respuesta:

f'(x)=(\frac {x+1}{x-1})^3/2 f'(x)=3/2(\frac {x+1}{x-1})^1/2*\frac {(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} f'(x)=\frac {-3}{(x-1)^2}*\sqrt[2]{\frac {x+1}{x-1}}

"Pablo Quintero"


Máximos y Mínimos[edit]


Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".


1.Para enviar cierto tipo de paquetes por correo la empresa transportadora exige que sean de base cuadrado y que la suma de sus lados no supere 150 cm. Halle el volumen máximo que estos paquetes pueden encerrar.

Sean x, x, y las dimensiones del paquete, entonces

x+x+y=150

El volumen del paquete V = x^2y

V =x^2y=x^2(150-2x)
(0 ≤ x ≤ 75)
dV/dx=300x-6x^2=0

entonces  x=0, x=50

tenemos que cuando  x=0, V=0 y cuando x=50, V=50^3


Si  x=75 entonces V=0, por lo tanto, el volumen máximo es

50^3=125000cm^3
"Pablo Quintero"


2.Una recta paralela al eje OY corta en P y Q las curvas

y=3x2+7x,
y=3x

Halle la longitud máxima del segmento PQ.

PQ=f(x)=|(3x^2+7x)(3x)|=|3x^2+4x|

PQ=3x^2+4xx \in (-\infty, -4/3) U (0, \infty)
PQ=<math>-3x^2–4x sí x \in (-4/3,0)


f’(x)=6x+4xx\in (- \infty, -4/3) U (0, \infty)
f’(x)=<math>-6x–4x sí x\in (-4/3, 0)


f es decreciente en (-\infty, -4/3), creciente en (-4/3, -2/3), decreciente (-2/3, 0), creciente en (0, \infty)

Luego f toma un máximo local en

x=-2/3
"Pablo Quintero"


3.Hallar el máximo y el mínimo de x2 + y2 cuando x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

Sea S=x2+y2 donde x+y=1

(x≥0, y≥0)

entonces S=x^2+(1-x)^2=2x^22x+1

Los puntos críticos de S:

dS/dx=4x2=0
x=1/2 , S=1/2

Los valores de S en los extremos son:

S(0)=1, S(1)=1

Entonces:

S(0)=S(1)=1
(máximo de S)
S(1/2)=1/2
(mínimo de S)
"Pablo Quintero"


Razón de Cambio[edit]


Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".



1.Un radio de una esfera crece a la velocidad de 1mm/seg, a qué velocidad están creciendo superficie y su volumen cuando el radio es 10 cm?

Sea V, S el volumen y la superficie de la esfera de radio r, entonces

V=4/3 \pi r^3,
S=4 \pi r^2

entonces

dV/dt =4 \pi r^2 (dr/dt),
dS/dt=8 \pi r dr/dt

Si dr/dt =1(mm/seg),

= 0.1(cm/seg), r = 10cm

entonces

dV/dt=4 \pi  10^2 (0.1)=40 \pi(cc./seg)
dS/dt=8 \pi 10(0.1)=8 \pi(cm^2/seg)
"Pablo Quintero"

2.Para gases ideales se sabe que PV=constante, siendo P la presión del gas y V el volumen del recipiente que lo contiene. Cómo varía la presión de un gas contenido en un recipiente que disminuye su volumen a la razón de 10c.c./seg., cuando V=500c.c. y  P=<math>15kg./ cm^2 ?

PV=c
(c = constante)

Entonces

(dV/dtV+PdV/dt)=0

Pero

dV/dt=-10(cm^3/seg)
V=500 (cm^3),
P=15(kg/cm^2)

entonces

dP/dt=-(P/V)dV/dt=-15/500(-10)=0.3 (kg/cm^2</math>seg)
"Pablo Quintero"

3.Los ejes mayor y menor de una elipse aumentan sus longitudes a las velocidades respectivas de 1cm/seg, y 2cm/seg. A qué rata crece su área cuando el eje mayor mide 10 cm y el eje menor 6 cm?. (Área de una elipse: S=\piab siendo a y b las semi-longitudes de sus ejes).

Sean a,b los ejes mayor y menor de la elipse, entonces el área de la elipse S es:

S=\piab
dS/dt=\pib(da/dt)+\pia(db/dt)

Pero

da/dt =1,
db/dt =2
.

Entonces

dS/dt=pb+2\pia=\pi(6)+2\pi(10) =26\pi (cm^2/seg)
"Pablo Quintero"