User:"Pablo Quintero"

Axiomas

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Los siguientes ejercicios fueron tomados del Libro "Calculus de Thomas Apostol".

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Demuestre:

1. $a.0=0.a=0$

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

$a\in \mathbb {R}$

Por existencia de neutros, podemos sumar un $0$ a $a.0$ y sigue siendo $a.0$

$a.0+0=a.0$

Con el fin de aplicar propiedad transitiva, buscamos una ecuación que sea igual a $a.0$,(esta será demostrada mas adelante),

$a.0+a.0=a.0$ (*)

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a $a.0$,se igualan por propiedad transitiva

$a.0+0=a.0+a.0$

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b; podemos cancelar $a.0$ en ambos lados.

$a.0=0$

(*) $a.0+a.0=a.0$

Por existencia de neutros para la suma, decimos que

$a.0+a.0=a.(0+0)$

Por existencia neutros, decimos que $0+0=0$

$a.0+a.0=a.0$

QED

"Pablo Quintero"

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2. $(-a)b=-(ab)$

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

$a,b\in \mathbb {R}$

Por existencia de inversos para la suma podemos decir que

$ab+(-ab)=0$

Con el fin de aplicar propiedad transitiva, buscamos una ecuación que sea igual a $0$, (esta será demostrada mas adelante),

$ab+(-a)b=0$ (*)

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a $0$, se igualan por propiedad transitiva

$ab+(-ab)=ab+(-a)b$

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b; podemos cancelar $ab$ en ambos lados.

$-(ab)=(-a)b$

(*) $ab+(-a)b=0$

Por propiedad distributiva podemos expresar la igualdad como

$ab+(-a)b=[a+(-a)]b$

Por existencia de inverso para la suma decimos que,

$ab+(-a)b=[0]b$

Por Teorema $a.0=0.a=0$, tenemos que

$ab+(-a)b=0$

QED

"Pablo Quintero"

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3. $(a/b)+(c/d)=[(ad+bc)/bd]$

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

$a,c\in \mathbb {R}$

y

$b,d\in \mathbb {R} -(0)$

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad

$(a/b)+(c/d)=(ab^{-}1)+(cd^{-}1)$

Por existencia de neutros para la multiplicación, podemos multiplicar la expresión por $1$. Este $1$ se puede expresar de la forma $(bd)(bd)^{-}1.:<math>(ab^{-}1)+(cd^{-}1)=[(ab^{-}1)+(cd^{-}1)](bd)(bd)^{-}1$

Por propiedad distributiva tenemos que

$(ab^{-}1)+(cd^{-}1)=[(ab^{-}1)(bd)+(cd^{-}1)(bd)](bd)^{-}1$

Por las propiedades: conmutativa, asociativa y existencia del reciproco, tenemos que

$(a/b)+(c/d)=[(ad)+(bc)](ba^{-}1)$

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a

$(a/b)+(c/d)=[(ad+bc)/bd]$

QED

"Pablo Quintero"

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4. $-0=0/(bc)$

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

$0\in \mathbb {R}$

y

$-0\in \mathbb {R}$

Por existencia de inverso para la suma tenemos que

$0+(-0)=0$

Por existencia de neutros para la suma tenemos que

$0+0=0$

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a $0$, se igualan por propiedad transitiva

$0+(-0)=0+0$

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b, cancelamos $0$ en ambos lados

$(-0)=0$

QED

"Pablo Quintero"

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5. $(a-b)+(b-c)=(a-c)$

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

$a,b,c\in \mathbb {R}$

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad

$(a-b)+(b-c)=[a+(-b)]+[b+(-c)]$

Por propiedad asociativa tenemos que

$(a-b)+(b-c)=[a+[(-b)+b]]+(-c)$

Por existencia de inverso para la suma tenemos que

$(a-b)+(b-c)=[a+0]+(-c)</mathPorexistenciadeneutrosparalasumatenemosque:<math>(a-b)+(b-c)=a+(-c)$

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a

$(a-b)+(b-c)=(a-c)$

QED

"Pablo Quintero"

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6. $(-a/b)=(-a)/b$

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

$a\in \mathbb {R}$

y

$b\in \mathbb {R} -(0)$

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad

$(-a/b)=(-ab^{-}1)$

Por existencia de neutros para la multiplicación, podemos multiplicar la expresión por $1$. Este $1$ se puede expresar de la forma $(b)(b^{-}1).:<math>(-a/b)=(-ab^{-}1)(b)(b^{-}1)$

Por propiedad asociativa tenemos que

$(-a/b)=[(-ab^{-}1)(b)](b^{-}1)$

Por propiedad asociativa tenemos que

$(-a/b)=[(-a)[(b^{-}1)b]](b^{-}1)$

Por existencia del reciproco tenemos que

$(-a/b)=[(-a)(1)](b^{-}1)$

Por existencia de neutros para la multiplicación tenemos que

$(-a/b)=(-a)(b^{-}1)$

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a

$(-a/b)=(-a)/b$

QED

"Pablo Quintero"

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Desigualdades

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Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Calculo de Edwin J. Purcell, sexta edición".

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Resuelva:

1. $(-6)<(2x+3)<(-1)$

Respuesta:

Se suma $-3$ a cada parte de desigualdad, con el fin de eliminar el $3$ y despejar la variable sola

$(-6-3)<(2x+3-3)<(-1-3)$

Operando se obtiene

$(-9)<(2x)<(-4)$

Se divide por $2$ a cada parte de desigualdad, con el fin de eliminar el $2$ y despejar la variable sola

$(-9/2)<(2x/2)<(-4/2)$

Operando se obtiene

$(-9/2)<(x)<(-2)$

Se da el resultado en términos de intervalos

$(-9/2,-2)$

"Pablo Quintero"

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2. $(10x+1)>(8x+5)$

Respuesta:

Se pasa $(8x+5)$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

$10x+1-8x-5>0$

Operando se obtiene

$2x-4>0$

Se pasa el $4$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$2x>4$

Se pasa el $2$ a dividir al otro lado con el fin de despejar la variable

$x>4/2$

Operando se obtiene

$x>2$

Se da el resultado en términos de intervalos

$(2,\infty )$

"Pablo Quintero"

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3. $(3x+5)>(7x+17)$

Respuesta:

Se pasa $(7x+17)$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

$3x+5-7x-17>0$

Operando se obtiene

$-4x-12>0$

Se pasa el $-12$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$-4x>12$

Se pasa el $-4$ a dividir al otro lado con el fin de despejar la variable

$x<-12/4$

Operando se obtiene

$x<-3$

Se da el resultado en términos de intervalos

$(-\infty ,-3)$

"Pablo Quintero"

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4. $(2+3x)<(5x+1)<(16)$

Respuesta:

Se separa la desigualdad con el fin de operar con mayor facilidad

$(2+3x)<(5x+1)$, $(5x+1)<(16)$

Se pasa $(5x+1)$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado. Se pasa el $1$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$2+3x-5x-1<0$, $5x<16-1$

Operando se obtiene

$1-2x<0$, $5x<15$

Se pasa el $1$ al otro lado con el fin de despejar la variable. Se pasa a dividir el $5$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$-2x<-1$, $x<15/5$

Se pasa a dividir el $-2$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$x>-1/-2$, $x<15/5$

Operando se obtiene

$x>1/2$, $x<3$

Ordenando la desigualdad se obtiene

$1/2<x<3$

Se da el resultado en términos de intervalos

$(1/2,3)$

"Pablo Quintero"

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5. $(2x-4)<(6-7x)<(3x+6)$

Respuesta:

Se separa la desigualdad con el fin de operar con mayor facilidad

$(2x-4)<(6-7x)$, $(6-7x)<(3x+6)$

Se pasa $(6-7x)$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado. Se pasa $(3x+6)$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

$2x-4-6+7x<0$, $6-7x-3x-6<0$

Operando se obtiene

$-10+9x<0$, $-10x<0$

Se pasa el $-10$ al otro lado con el fin de despejar la variable. Se pasa a dividir el $-10$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$9x<10$, $x>-1/10$

Se pasa a dividir el $9$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$x<10/9$, $x>-1/10$

Ordenando la desigualdad se obtiene

$-1/10<x<10/9$

Se da el resultado en términos de intervalos

$(-1/10,10/9)$

"Pablo Quintero"

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6. $|x-5|<|x+1|$

Respuesta:

Se eleva al cuadrado cada valor absoluto con el fin de quitar el mismo

$(x-5)^{2}<(x+1)^{2}$

Factorizando se obtiene

$x^{2}-10x+25<x^{2}+2x+1$

Se pasa $(x^{2}+2x+1)$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

$x^{2}-10x+25-x^{2}-2x-1<0$

Operando se obtiene

$-12x+24<0$

Se pasa el $24$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$-12x<-24$

Se pasa a dividir el $-12$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$x>-24/-12$

Operando se obtiene

$x>2$

Se da el resultado en términos de intervalos

$(2,\infty )$

"Pablo Quintero"

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7. $|3x+3/x+1|<1$

Respuesta:

Por propiedades del valor absoluto, se puede expresar la desigualdad como

$|3x+3|/|x+1|<1$

Se pasa a multiplicar $|x+1|$ al otro lado con el fin de separar los valores absolutos

$|3x+3|<|x+1|$

Se eleva al cuadrado cada valor absoluto con el fin de quitar el mismo

$(3x+3)^{2}<(x+1)^{2}$

Factorizando se obtiene

$x^{2}+6x+9<x^{2}+2x+1$

Se pasa $(x^{2}+2x+1)$ al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

$x^{2}+6x+9-x^{2}-2x-1<0$

Operando se obtiene

$4x+8<0$

Se pasa el $8$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$4x<-8$

Se pasa a dividir el $4$ al otro lado con el fin de despejar la variable

$x<-8/4$

Operando se obtiene

$x<-2$

Se da el resultado en términos de intervalos

$(-\infty ,-2)$

"Pablo Quintero"

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Derivadas

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Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".

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De las siguientes funciones, encuentre sus derivadas:

1.$f(x)={\sqrt[{2}]{1-x^{2}}}$

Respuesta:

$f'(x)={\frac {-x}{\sqrt[{2}]{1-x^{2}}}}$

"Pablo Quintero"

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2.$f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}}$

Respuesta:

$f'(x)={\frac {(2x+1)(x^{2}-x+1)-(2x-1)(x^{2}+x+1)}{(x^{2}-x+1)^{2}}}$ $f'(x)={\frac {-2(x^{2}-1)}{(x^{2}-x+1)^{2}}}$

"Pablo Quintero"

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3.$f(x)={\frac {xa}{x^{2}-a^{2}}}+{\frac {xa}{x^{2}+a^{2}}}$

Respuesta:

$f'(x)={\frac {a(x^{2}-a^{2})-xa(2x)}{(x^{2}-a^{2})^{2}}}+{\frac {a(x^{2}+a^{2})-xa(2x)}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}$ $f'(x)={\frac {-a(x^{2}-a^{2})}{(x^{2}-a^{2})^{2}}}+{\frac {a(x^{2}+a^{2})}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}$

"Pablo Quintero"

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4.$f(x)={\frac {x-{\sqrt[{2}]{x}}}{x+{\sqrt[{2}]{x}}}}$

Respuesta:

$f'(x)={\frac {(1-1/2{\sqrt[{2}]{x}})(x+{\sqrt[{2}]{x}})-(x-{\sqrt[{2}]{x}})(1-1/2{\sqrt[{2}]{x}})}{(x+{\sqrt[{2}]{x}})^{2}}}$ $f'(x)={\frac {2{\sqrt[{2}]{x}}+1}{(x+{\sqrt[{2}]{x}})^{2}}}$

"Pablo Quintero"

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5.$f(x)={\frac {2x^{2}+x-8}{3x+2}}$

Respuesta:

$f'(x)={\frac {(4x+1)(3x+2)-3(2x^{2}+x-8)}{(3x+2)^{2}}}$ $f'(x)={\frac {6x^{2}-8x+26}{(3x+2)^{2}}}$

"Pablo Quintero"

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6.$f(x)={\frac {x^{2}*a^{2}}{x^{3}+a^{3}}}$

Respuesta:

$f'(x)={\frac {2xa^{2}(x^{3}+a^{3})-3x^{2}(x^{2}*a^{2})}{(x^{3}+a^{3})^{2}}}$ $f'(x)={\frac {xa^{2}(2a^{3}-x^{3})}{(x^{3}+a^{3})^{2}}}$

"Pablo Quintero"

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7.$f(x)={\sqrt[{2}]{({\frac {x+1}{x-1}})^{3}}}$

Respuesta:

$f'(x)=({\frac {x+1}{x-1}})^{3}/2$ $f'(x)=3/2({\frac {x+1}{x-1}})^{1}/2*{\frac {(x-1)-(x+1)}{(x-1)^{2}}}$ $f'(x)={\frac {-3}{(x-1)^{2}}}*{\sqrt[{2}]{\frac {x+1}{x-1}}}$

"Pablo Quintero"

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Máximos y Mínimos

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Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".

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1.Para enviar cierto tipo de paquetes por correo la empresa transportadora exige que sean de base cuadrado y que la suma de sus lados no supere 150 cm. Halle el volumen máximo que estos paquetes pueden encerrar.

Sean x, x, y las dimensiones del paquete, entonces

$x+x+y=150$

El volumen del paquete $V=x^{2}y$

$V=x^{2}y=x^{2}(150-2x)$ (0 ≤ x ≤ 75)

$dV/dx=300x-6x^{2}=0$

entonces $x=0$, $x=50$

tenemos que cuando $x=0$, $V=0$ y cuando $x=50$, $V=50^{3}$

Si $x=75$ entonces $V=0$, por lo tanto, el volumen máximo es

$50^{3}=125000cm^{3}$

"Pablo Quintero"

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2.Una recta paralela al eje OY corta en P y Q las curvas

$y=3x2+7x$, $y=3x$

Halle la longitud máxima del segmento PQ.

PQ=f(x)=|$(3x^{2}+7x)$–$(3x)$|=$|3x^{2}+4x|$

PQ=$3x^{2}+4x$ sí $x\in (-\infty ,-4/3)U(0,\infty )$

PQ=$<math>-3x^{2}$–4x sí $x\in (-4/3,0)$

f’(x)=$6x+4x$ sí $x\in (-\infty ,-4/3)U(0,\infty )$

f’(x)=$<math>-6x$–4x sí $x\in (-4/3,0)$

f es decreciente en ($-\infty$, -4/3), creciente en (-4/3, -2/3), decreciente (-2/3, 0), creciente en (0, $\infty$)

Luego f toma un máximo local en

$x=-2/3$

"Pablo Quintero"

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3.Hallar el máximo y el mínimo de x2 + y2 cuando x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

Sea S=x2+y2 donde x+y=1

(x≥0, y≥0)

entonces S=$x^{2}+(1-x)^{2}$=$2x^{2}$–$2x+1$

Los puntos críticos de S:

dS/dx=$4x$–$2$=$0$

$x=1/2$ , $S=1/2$

Los valores de S en los extremos son:

S(0)=1, S(1)=1

Entonces:

S(0)=S(1)=1 (máximo de S)

S(1/2)=1/2 (mínimo de S)

"Pablo Quintero"

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Razón de Cambio

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Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".

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1.Un radio de una esfera crece a la velocidad de 1mm/seg, a qué velocidad están creciendo superficie y su volumen cuando el radio es 10 cm?

Sea V, S el volumen y la superficie de la esfera de radio r, entonces

V=$4/3\pi r^{3}$, S=$4\pi r^{2}$

entonces

dV/dt =$4\pi r^{2}$(dr/dt), dS/dt=$8\pi r$ dr/dt

Si dr/dt =$1$(mm/seg),

= $0.1$(cm/seg), r = $10$cm

entonces

dV/dt=$4\pi 10^{2}(0.1)=40\pi$(cc./seg)

dS/dt=$8\pi 10(0.1)=8\pi$($cm^{2}$/seg)

"Pablo Quintero"

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2.Para gases ideales se sabe que PV=constante, siendo P la presión del gas y V el volumen del recipiente que lo contiene. Cómo varía la presión de un gas contenido en un recipiente que disminuye su volumen a la razón de 10c.c./seg., cuando V=$500c.c.yP=<math>15$kg./ $cm^{2}$?

PV=c (c = constante)

Entonces

(dV/dtV+PdV/dt)=$0$

Pero

dV/dt=$-10$($cm^{3}$/seg)

V=$500$ ($cm^{3}$), P=$15$(kg/$cm^{2}$)

entonces

dP/dt=-(P/V)dV/dt=$-15/500(-10)$=$0.3$ (kg/cm^2</math>seg)

"Pablo Quintero"

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3.Los ejes mayor y menor de una elipse aumentan sus longitudes a las velocidades respectivas de 1cm/seg, y 2cm/seg. A qué rata crece su área cuando el eje mayor mide 10 cm y el eje menor 6 cm?. (Área de una elipse: S=$\pi$ab siendo a y b las semi-longitudes de sus ejes).

Sean a,b los ejes mayor y menor de la elipse, entonces el área de la elipse S es:

S=$\pi$ab

dS/dt=$\pi$b(da/dt)+$\pi$a(db/dt)

Pero

da/dt =$1$,db/dt =$2$.

Entonces

dS/dt=pb+$2\pi$a=$\pi$(6)+$2\pi (10)$ =$26\pi$ ($cm^{2}$/seg)

"Pablo Quintero"

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