User:"Pablo Quintero"

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Axiomas[edit]


Los siguientes ejercicios fueron tomados del Libro "Calculus de Thomas Apostol".


Demuestre:


1.

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

Por existencia de neutros, podemos sumar un a y sigue siendo

Con el fin de aplicar propiedad transitiva, buscamos una ecuación que sea igual a ,(esta será demostrada mas adelante),

(*)

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a ,se igualan por propiedad transitiva

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b; podemos cancelar en ambos lados.


(*)

Por existencia de neutros para la suma, decimos que

Por existencia neutros, decimos que

QED
"Pablo Quintero"


2.

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

Por existencia de inversos para la suma podemos decir que

Con el fin de aplicar propiedad transitiva, buscamos una ecuación que sea igual a , (esta será demostrada mas adelante),

(*)

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a , se igualan por propiedad transitiva

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b; podemos cancelar en ambos lados.


(*)

Por propiedad distributiva podemos expresar la igualdad como

Por existencia de inverso para la suma decimos que,

Por Teorema , tenemos que

QED
"Pablo Quintero"


3.

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

y

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad

Por existencia de neutros para la multiplicación, podemos multiplicar la expresión por . Este se puede expresar de la forma

Por propiedad distributiva tenemos que

Por las propiedades: conmutativa, asociativa y existencia del reciproco, tenemos que

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a

QED
"Pablo Quintero"


4.

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

y

Por existencia de inverso para la suma tenemos que

Por existencia de neutros para la suma tenemos que

Al conocer que ambas ecuaciones son iguales a , se igualan por propiedad transitiva

Por el teorema: si a+c=a+b, entonces c=b, cancelamos en ambos lados

QED
"Pablo Quintero"


5.

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad

Por propiedad asociativa tenemos que

Por existencia de inverso para la suma tenemos que

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a

QED
"Pablo Quintero"


6.

Demostración:

Por hipótesis decimos que,

y

Como solo se trabaja con suma y multiplicación, por notación cambiamos la expresión de la igualdad

Por existencia de neutros para la multiplicación, podemos multiplicar la expresión por . Este se puede expresar de la forma

Por propiedad asociativa tenemos que

Por propiedad asociativa tenemos que

Por existencia del reciproco tenemos que

Por existencia de neutros para la multiplicación tenemos que

Para que la igualdad sea como la presentada en el enunciado, por notación le cambiamos la expresión a

QED
"Pablo Quintero"



Desigualdades[edit]


Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Calculo de Edwin J. Purcell, sexta edición".


Resuelva:


1.

Respuesta:

Se suma a cada parte de desigualdad, con el fin de eliminar el y despejar la variable sola

Operando se obtiene

Se divide por a cada parte de desigualdad, con el fin de eliminar el y despejar la variable sola

Operando se obtiene

Se da el resultado en términos de intervalos

"Pablo Quintero"


2.

Respuesta:

Se pasa al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

Operando se obtiene

Se pasa el al otro lado con el fin de despejar la variable

Se pasa el a dividir al otro lado con el fin de despejar la variable

Operando se obtiene

Se da el resultado en términos de intervalos

"Pablo Quintero"


3.

Respuesta:

Se pasa al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

Operando se obtiene

Se pasa el al otro lado con el fin de despejar la variable

Se pasa el a dividir al otro lado con el fin de despejar la variable

Operando se obtiene

Se da el resultado en términos de intervalos

"Pablo Quintero"


4.

Respuesta:

Se separa la desigualdad con el fin de operar con mayor facilidad

,

Se pasa al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado. Se pasa el al otro lado con el fin de despejar la variable

,

Operando se obtiene

,

Se pasa el al otro lado con el fin de despejar la variable. Se pasa a dividir el al otro lado con el fin de despejar la variable

,

Se pasa a dividir el al otro lado con el fin de despejar la variable

,

Operando se obtiene

,

Ordenando la desigualdad se obtiene

Se da el resultado en términos de intervalos

"Pablo Quintero"


5.

Respuesta:

Se separa la desigualdad con el fin de operar con mayor facilidad

,

Se pasa al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado. Se pasa al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

,

Operando se obtiene

,

Se pasa el al otro lado con el fin de despejar la variable. Se pasa a dividir el al otro lado con el fin de despejar la variable

,

Se pasa a dividir el al otro lado con el fin de despejar la variable

,

Ordenando la desigualdad se obtiene

Se da el resultado en términos de intervalos

"Pablo Quintero"


6.

Respuesta:

Se eleva al cuadrado cada valor absoluto con el fin de quitar el mismo

Factorizando se obtiene

Se pasa al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

Operando se obtiene

Se pasa el al otro lado con el fin de despejar la variable

Se pasa a dividir el al otro lado con el fin de despejar la variable

Operando se obtiene

Se da el resultado en términos de intervalos

"Pablo Quintero"


7.

Respuesta:

Por propiedades del valor absoluto, se puede expresar la desigualdad como

Se pasa a multiplicar al otro lado con el fin de separar los valores absolutos

Se eleva al cuadrado cada valor absoluto con el fin de quitar el mismo

Factorizando se obtiene

Se pasa al otro lado con el fin de dejar la variable a un solo lado

Operando se obtiene

Se pasa el al otro lado con el fin de despejar la variable

Se pasa a dividir el al otro lado con el fin de despejar la variable

Operando se obtiene

Se da el resultado en términos de intervalos

"Pablo Quintero"



Derivadas[edit]


Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".


De las siguientes funciones, encuentre sus derivadas:


1.

Respuesta:

"Pablo Quintero"

2.

Respuesta:

"Pablo Quintero"

3.

Respuesta:

"Pablo Quintero"

4.

Respuesta:

"Pablo Quintero"

5.

Respuesta:

"Pablo Quintero"

6.

Respuesta:

"Pablo Quintero"

7.

Respuesta:

"Pablo Quintero"


Máximos y Mínimos[edit]


Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".


1.Para enviar cierto tipo de paquetes por correo la empresa transportadora exige que sean de base cuadrado y que la suma de sus lados no supere 150 cm. Halle el volumen máximo que estos paquetes pueden encerrar.

Sean x, x, y las dimensiones del paquete, entonces

El volumen del paquete

(0 ≤ x ≤ 75)

entonces ,

tenemos que cuando , y cuando ,


Si entonces , por lo tanto, el volumen máximo es

"Pablo Quintero"


2.Una recta paralela al eje OY corta en P y Q las curvas

,

Halle la longitud máxima del segmento PQ.

PQ=f(x)=||=

PQ=
PQ=–4x sí


f’(x)=
f’(x)=–4x sí


f es decreciente en (, -4/3), creciente en (-4/3, -2/3), decreciente (-2/3, 0), creciente en (0, )

Luego f toma un máximo local en

"Pablo Quintero"


3.Hallar el máximo y el mínimo de x2 + y2 cuando x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

Sea S=x2+y2 donde x+y=1

(x≥0, y≥0)

entonces S==

Los puntos críticos de S:

dS/dx==
,

Los valores de S en los extremos son:

S(0)=1, S(1)=1

Entonces:

S(0)=S(1)=1
(máximo de S)
S(1/2)=1/2
(mínimo de S)
"Pablo Quintero"


Razón de Cambio[edit]


Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro "Ejercicios de Calculo 1 y Calculo Diferencial de Takeuchi, Yu".



1.Un radio de una esfera crece a la velocidad de 1mm/seg, a qué velocidad están creciendo superficie y su volumen cuando el radio es 10 cm?

Sea V, S el volumen y la superficie de la esfera de radio r, entonces

V=,
S=

entonces

dV/dt =(dr/dt),
dS/dt= dr/dt

Si dr/dt =(mm/seg),

= (cm/seg), r = cm

entonces

dV/dt=(cc./seg)
dS/dt=(/seg)
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2.Para gases ideales se sabe que PV=constante, siendo P la presión del gas y V el volumen del recipiente que lo contiene. Cómo varía la presión de un gas contenido en un recipiente que disminuye su volumen a la razón de 10c.c./seg., cuando V=kg./ ?

PV=c
(c = constante)

Entonces

(dV/dtV+PdV/dt)=

Pero

dV/dt=(/seg)
V= (),
P=(kg/)

entonces

dP/dt=-(P/V)dV/dt== (kg/cm^2</math>seg)
"Pablo Quintero"

3.Los ejes mayor y menor de una elipse aumentan sus longitudes a las velocidades respectivas de 1cm/seg, y 2cm/seg. A qué rata crece su área cuando el eje mayor mide 10 cm y el eje menor 6 cm?. (Área de una elipse: S=ab siendo a y b las semi-longitudes de sus ejes).

Sean a,b los ejes mayor y menor de la elipse, entonces el área de la elipse S es:

S=ab
dS/dt=b(da/dt)+a(db/dt)

Pero

da/dt =,
db/dt =
.

Entonces

dS/dt=pb+a=(6)+ = (/seg)
"Pablo Quintero"