Practical Electronics/Simplest Circuits

From Wikibooks, the open-content textbooks collection

Jump to: navigation, search

Contents

[edit] Review

Below is the summary of the three components R , L , and C

Components Chracteristic Impedance Voltage Current
Resistor R Z = R V = IR I = \frac{V}{R}
Capacitor C Z = \frac{1}{\omega C}/_-90 = \frac{1}{j \omega C} = \frac{1}{sC} V = \frac{1}{C} \int I dt I = C \frac{dV}{dt}
Inductor L Z = ωL/_90 = jωL = sL V = L \frac{dI}{dt} I = \frac{1}{L} \int V dt

[edit] Series Circuit

With three components R, L, C, connected in series we have the following circuits series RC, series RL, series RLC, series LC

[edit] Series RC

  • V = VR + VC
V = IR + \frac {1}{C} \int I dt
  • I = \frac{V}{R} - \frac{1}{RC} \int I dt
I(t) = I_o - I_o e^\frac{t}{T}
I(t) = I_o ( 1 - e^\frac{t}{T})
  • Z = \frac{V}{I} = (j\omega) = Z_R + Z_C
Z = R + \frac {1}{j\omega C} = \frac {j\omega CR + 1}{j\omega C}
Z = \frac{V}{I} = \frac{1}{X_C} (j\omega T + 1) with T = CR

[edit] Series RL

  • V = VR + VL
V = IR + L \frac{dI}{dt}
  • I = \frac{V}{R} - \frac{L}{R} \frac{dI}{dt}
I(t) = I_o - I_o e^-\frac{t}{T}
I(t) = I_o ( 1 - e^\frac{t}{T})
  • Z = \frac{V}{I} = Z_R + Z_L
Z = R + j\omega L = 1 + j\omega \frac{L}{R}
Z = (1 + jωT)

[edit] Series LC

  • Z = ZL + ZC
Z = j\omega L + \frac{1}{j\omega C} = \frac{(j\omega)^2 LC + 1}{j\omega C}
  • V = VL + VC
V = L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \int I dt
I(t) = I_o e^\frac{t}{T} - I_o e^\frac{t}{T}
I(t) = I_o (e^\frac{t}{T} - e^\frac{t}{T})<s></s>

[edit] Series RLC

RLC series circuit.png
  • Z = ZR + ZL + ZC
Z = R + j\omega L + \frac {1}{j\omega C}
Z = \frac{(j\omega)^2 LC + j\omega RC + 1 }{j\omega C}
  • V = VR + VL + VC
V = IR + L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \int I dt
  • I = \frac{V}{R} - \frac{L}{R} \frac{dI}{dt} + \frac{1}{CR} \int I dt

[edit] Natural Respond

0 = IR + L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \int I dt

[edit] Force Respond

V_t = IR + L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \int I dt

Second ordered equation that has two roots

ω = -α ± \sqrt {\alpha^2 - \beta^2}

Where

\alpha = \frac{R}{2L}
\beta = \frac{1}{\sqrt{LC}}

The current of the network is given by

A eω1 t + B eω2 t

From above

When α2 = β2, there is only one real root
ω = -α
When α2 > β2, there are two real roots
ω = -α ± \sqrt {\alpha^2 - \beta^2}
When α2 < β2, there are two complex roots
ω = -α ± j\sqrt {\beta^2 - \alpha^2 }

[edit] Resonance

At resonance, the frequency dependent components cancel out .

  • ZL − ZC = 0 or
\omega L = \frac{1}{\omega C}
\omega = \sqrt {\frac{1}{LC}}
  • Z = ZR + (ZL − ZC) = ZR = R
I = \frac{V}{R}

At Resonance Frequency, ωo = 2πfo

\omega = \sqrt {\frac{1}{LC}} .
I = \frac{V}{R} . Current is at its maximum value

At ω = 0, Capacitor Opened circuit . Therefore, I = 0 . At Resonance Frequency, I = \frac{V}{R}, current is at maximum peak value. At ω = 00, Inductor Opened circuit . Therefore, I = 0 . At ω = 0 current is zero , increasing in value and reach its peak value at resonance frequency then decresing in value until it reaches zero at at ω = 00


If current is reduced to halved of the value of peak current I = \frac{V}{2R} , this current value is stable over a Frequency Band ω1 - ω2 where ω1 = ωo - Δω, ω2 = ωo + Δω


In RLC series, it is possible to have a band of frequencies where current is stable, ie. current does not change with frequency . For a wide band of frequencies respond, current must be reduced from it's peak value . The more current is reduced, the wider the bandwidth

Therefore, this network can be used as Tuned Selected Band Pass Filter . If tune either L or C to the resonance frequency \omega = \sqrt {\frac{1}{LC}} . Current is at its maximum value I = \frac{V}{R} . Then, adjust the value of R to have a value less than the peak current I = \frac{V}{R} by increasing R to have a desired frequency band .


If R is increased from R to 2R then the current now is I = \frac{V}{2R} which is stable over a band of frequency

ω1 - ω2 where
ω1 = ωo - Δω
ω2 = ωo + Δω


For value of I < I = \frac{V}{2R} . The circuit respond to Wide Band of frequencies . For value of I = \frac{V}{R} < I > I = \frac{V}{2R} . The circuit respond to Narrow Band of frequencies

[edit] Summary

For series or parallel RC, RL

I = I_o ( 1 - e^\frac{t}{T} ) . T = CR = \frac{L}{R}
Z_RL = (1 + jωT)
Z_RC = \frac{1}{X_C} ( 1 + j\omega T )
Tanθ = ω T = 2πT f = 2πT (1/t)

[edit] Parallel Circuit

With three components R, L, C, connected in parallel we have the following circuits series RC, series RL, series RLC, series LC

[edit] Parallel RC

A parallel RC Circuit
  • \frac {1}{Z} = \frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_C}
\frac{1}{Z} = \frac{1}{R} + j\omega C = \frac {j\omega CR + 1}{R}
Z = R \frac {1}{j\omega CR + 1}
  • I = IR + IC
I = \frac {V}{R} + C \frac{dV}{dt}
  • V = (IR - RC \frac {dV}{dt})

[edit] Parallel RL

An RL parallel circuit
  • \frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_L}
\frac{1}{Z} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j\omega L} = \frac{R + j\omega L}{j\omega RL}
Z = \frac{j\omega RL}{R + j\omega L} = j\omega L\frac {1} {1 + j\omega \frac{L}{R}}
  • I = IR + IL
I = \frac{V}{R} + \frac{1}{L} \int V dt
  • V = IR - \frac{R}{L} \int V dt

[edit] Parallel LC

LC circuit diagram
  • \frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_L} + \frac{1}{Z_C}
\frac{1}{Z} = \frac{1}{j\omega L} + j\omega C = \frac{(j\omega)^2 LC + 1}{j\omega L}
Z = \frac{(j\omega)^2 LC + 1}{j\omega L}
  • I = IL + IC
I = \frac{1}{L} \int V dt + C \frac{dV}{dt}

[edit] Parallel RLC

200
  • \frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_L} + \frac{1}{Z_C}
\frac{1}{Z} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j\omega L} + j\omega C
\frac{1}{Z} = \frac{(j\omega)^2 LC + j\omega L + R }{j\omega RL}
\frac{1}{Z} = \frac{(j\omega)^2 \frac{LC}{R} + j\omega \frac{L}{R} + 1 }{j\omega L}
  • I = IR + IL + IC
I = \frac{V}{R} + \frac{1}{L} \int V dt + C \frac{dV}{dt}
I = \frac{V}{R} + \frac{1}{L} \int V dt + C \frac{dV}{dt}
  • V = IR - \frac{R}{L} \int V dt - CR \frac{dV}{dt}

[edit] Natural Respond

0 = \frac{V}{R} + \frac{1}{L} \int V dt + C \frac{dV}{dt}

[edit] Force Respond

I_t = IR + L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \int I dt

Second ordered equation that has two roots

ω = -α ± \sqrt {\alpha^2 - \beta^2}

Where

\alpha = \frac{R}{2L}
\beta = \frac{1}{\sqrt{LC}}

The current of the network is given by

A eω1 t + B eω2 t

From above

When α2 = β2, there is only one real root
ω = -α
When α2 > β2, there are two real roots
ω = -α ± \sqrt {\alpha^2 - \beta^2}
When α2 < β2, there are two complex roots
ω = -α ± j\sqrt {\beta^2 - \alpha^2 }

[edit] Resonance

At resonance, the frequency dependent components cancel out .

  • ZL − ZC = 0 or
\omega L = \frac{1}{\omega C}
\omega = \sqrt {\frac{1}{LC}}
  • Z = ZR + (ZL − ZC) = ZR = R
I = \frac{V}{R}

At Resonance Frequency, ωo = 2πfo

\omega = \sqrt {\frac{1}{LC}} .
I = \frac{V}{R} . Current is at its maximum value

At ω = 0, Capacitor Opened circuit . Therefore, I = 0 . At Resonance Frequency, I = \frac{V}{R}, current is at maximum peak value. At ω = 00, Inductor Opened circuit . Therefore, I = 0 . At ω = 0 current is zero , increasing in value and reach its peak value at resonance frequency then decresing in value until it reaches zero at at ω = 00


If current is reduced to halved of the value of peak current I = \frac{V}{2R} , this current value is stable over a Frequency Band ω1 - ω2 where ω1 = ωo - Δω, ω2 = ωo + Δω


In RLC series, it is possible to have a band of frequencies where current is stable, ie. current does not change with frequency . For a wide band of frequencies respond, current must be reduced from it's peak value . The more current is reduced, the wider the bandwidth

Therefore, this network can be used as Tuned Selected Band Pass Filter . If tune either L or C to the resonance frequency \omega = \sqrt {\frac{1}{LC}} . Current is at its maximum value I = \frac{V}{R} . Then, adjust the value of R to have a value less than the peak current I = \frac{V}{R} by increasing R to have a desired frequency band .


If R is increased from R to 2R then the current now is I = \frac{V}{2R} which is stable over a band of frequency

ω1 - ω2 where
ω1 = ωo - Δω
ω2 = ωo + Δω


For value of I < I = \frac{V}{2R} . The circuit respond to Wide Band of frequencies . For value of I = \frac{V}{R} < I > I = \frac{V}{2R} . The circuit respond to Narrow Band of frequencies

[edit] Filters

[edit] Low Pass

[edit] LR

\frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_R}{Z_R + Z_L} = \frac{R}{R + j\omega L} = \frac{1}{1 + j\omega \frac{L}{R}}

[edit] RC

\frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_C}{Z_R + Z_C} = \frac {\frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}}
\frac{V_o}{V_i} = \frac{1}{1 + j\omega RC} = \frac{1}{1 + j\omega t}

Low Pass Filter can be constructed by connecting one resistor and one capacitor, RC , or one resistor and one inductor, LR . Every Low Pass Filter can be represented mathenatically by a function of jω

F(jω) = \frac{1}{1 + t} with t = \frac{1}{RC} = \frac{R}{L}


[edit] High Pass

[edit] RL

Series RL circuit
\frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_L}{Z_R + Z_L} = \frac{j\omega L}{R + j\omega L}
\frac{V_o}{V_i} = (j\omega\frac{L}{R}) \frac{1}{1 + j\omega\frac{L}{R}} = j\omega t \frac{1}{1 + j\omega t}

[edit] CR

\frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_R}{Z_R + Z_C} = \frac{R}{R + \frac{1}{j\omega C}}
\frac{V_o}{V_i} = \frac{j\omega RC}{1 + j\omega RC} = j\omega t \frac{1}{1 + j\omega t}

High Pass Filter can be constructed by connecting one resistor and one capacitor, CR , or one resistor and one inductor, RL . Every High Pass Filter can be represented mathenatically by a function of jω

F(jω) = j\omega t \frac{1}{1 + t} with t = \frac{1}{RC} = \frac{R}{L}

[edit] Band Pass

[edit] LR + CR

With one low pass LR and one high pass CR connected in series to form a Band Pass Filter which has stable voltage over a band of frequencies from

Band Pass = \frac{R}{L} - \frac{1}{RC} Provided that \frac{1}{RC} > \frac{R}{L}

[edit] RC + RL

With one low pass RC and one high pass RL connected in series to form a Band Pass Filter which has stable voltage over a band of frequencies from

Band Pass = \frac{1}{RC} - \frac{R}{L} Provided that \frac{R}{L} > \frac{1}{RC}

[edit] R - LC//

This network behaves like RC + RL

Band Pass = \frac{1}{RC} - \frac{R}{L} Provided that \frac{R}{L} > \frac{1}{RC}

[edit] LC// - R

This network behaves like LR + CR

Band Pass = \frac{R}{L} - \frac{1}{RC} Provided that \frac{1}{RC} > \frac{R}{L}

[edit] Summary

[edit] R , L , and C

Components Chracteristic Impedance Voltage Current
Resistor R Z = R V = IR I = \frac{V}{R}
Capacitor L Z = ωL/_90 = jωL = sL V = L \frac{dI}{dt} I = \frac{1}{L} \int V dt
Inductor C Z = \frac{1}{\omega C}/_-90 = \frac{1}{j \omega C} = \frac{1}{sC} V = \frac{1}{C} \int I dt I = C \frac{dV}{dt}
Components Chracteristic V - I Characteristic Materal Characteristic Material
Resistance R G = ρ\frac{l}{A} R = \frac{V}{I} or G = \frac{I}{V} ρ = \frac{A}{l} \frac{I}{V}
Inductance L L = \frac{B}{I} L = μN \frac{l}{A} μ = \frac{1}{N} \frac{A}{l} \frac{B}{I}
Capacitance C C = ε\frac{A}{l} C = \frac{Q}{V} ε = \frac{Q}{V} \frac{l}{A}

[edit] Series and Paralle Network

[edit] RC

Circuit Symbol Series Parallel
RC
RLC series circuit.png
A parallel RC Circuit
Impedance Z Z_t = R + \frac {1}{\omega C} = \frac {\omega CR + 1}{\omega C} \frac{1}{Z_t} = \frac{1}{Z_R} + \frac{1}{Z_C} = \frac{1}{R} + \omega C = \frac {R}{\omega CR + 1}
Frequency ωo = 2fo ZR = ZC
R = \frac{1}{\omega C}
\omega = \frac{1}{CR} 		\frac{1}{R} = \frac{1}{\omega C}
\frac{1}{R} = \omega C
\omega = \frac{1}{CR}
Voltage V V = IR + \frac {1}{C} \int I dt I = \frac {V}{R} + C\frac{dV}{dt}
Current I \int I dt = C (V - IR) \frac {dV}{dt} = \frac{1}{C}(I - \frac{V}{R})
Phase Angle Tan θ = 1/2πf RC
f = 1/2π Tan CR
t = 2π Tan CR		 Tan θ = 1/2πf RC
f = 1/2π Tan CR
t = 2π Tan CR

[edit] RL

Circuit Symbol Series Parallel
RL
An RL parallel circuit
Impedance Z Zt = R + ωL Z_t = \frac{\omega RL}{R + \omega L}
Voltage V V = IR + L \frac{dI}{dt} I = \frac{V}{R} + \frac{1}{C} \int V dt
Current I \frac{dI}{dt} = (V - IR)\frac{1}{L} \int V dt = C(I - \frac{V}{R})
Phase Angle I tan θ = \omega \frac{L}{R} = 2πf \frac{L}{R}
f = (Tanθ/2π) \frac{R}{L}
t = (2π/Tanθ) \frac{L}{R}		 tan θ = \omega \frac{L}{R} = 2πf \frac{L}{R}
f = (Tanθ/2π) \frac{R}{L}
t = (2π/Tanθ) \frac{L}{R}

[edit] LC

Circuit Symbol Series Parallel
LC
RLC series circuit.png
200
Impedance Z Z_t = \omega L + \frac{1}{\omega C} = \frac{\omega^2 LC + 1}{\omega C} Z_t = \frac{\omega L}{\omega^2 LC + 1}
Resonance Frequency ω = ωo when ZL = ZC \omega L = \frac{1}{\omega C}
\omega_o = \sqrt{\frac{L}{C}}		 \omega L = \frac{1}{\omega C}
\omega_o = \sqrt{\frac{L}{C}}
Voltage V V = L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \int I dt I = \frac{1}{L} \int V dt + C \frac{dV}{dt}

[edit] RCL

Network Symbol Series RLC Paralle RLC
Network
RLC series circuit.png
200
Impedance Z Z = (j\omega)^2 + (j\omega)\frac{R}{L} + \frac{1}{LC} Z = (j\omega)^2 + (j\omega) \frac{1}{RC} + \frac{1}{LC}
Roots λ λ = - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_o^2} λ = - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_o^2}
I(t) Aeλ1t + Beλ2t Aeλ1t + Beλ2t Aeλ1t + Beλ2t
Damping Factor ζ \zeta = {R \over 2L} \zeta = {1 \over 2RC}
Resonant Frequency ωo \omega_o = {1 \over \sqrt{L C}} \omega_o = {1 \over \sqrt{L C}}
Band Width Δω = 2ζ { R \over L} { 1 \over CR}
Quality factor Q = {\omega_o \over \Delta \omega } = {\omega_o \over 2\zeta } Q = {L \over R \sqrt{LC}} = {1 \over R} \sqrt{L \over C} Q = {CR \over \sqrt{LC}} = {R} \sqrt{C \over L}

[edit] High Pass and Low Pass FIlters

Filters Network \frac{V_o}{V_i} Time Constant
Low Pass, RC
Low Pass RC
 \frac{V_o}{V_i} = \frac{1}{j\omega RC + 1} = \frac{1}{1 + j\omega t} t = \frac{1}{RC}
Low Pass, LR
Low Pass LR
 \frac{V_o}{V_i} = \frac {R}{R + j\omega L} = \frac{1}{1 + j\omega\frac{L}{R}} = \frac{1}{1 + j\omega t} t = \frac{R}{L}
High Pass, CR
High Pass CR
 \frac{V_o}{V_i} = \frac{j\omega CR}{j\omega CR + 1} = (j\omega t) \frac{1}{1 + j\omega t} t = \frac{1}{RC}
High Pass, RL
High Pass RL
 \frac{V_o}{V_1} = \frac{j\omega L}{R + \omega L} = (j\omega t) \frac{1}{1 + j\omega t} t = \frac{R}{L}

[edit] Band Pass Filters

Filters Band Pass R,L,C 's Value
LR - CR \frac{R}{L} - \frac{1}{CR} \frac{1}{CR} > \frac{R}{L}
RC - RL \frac{1}{CR} - \frac{R}{L} \frac{R}{L} > \frac{1}{CR}
R - LC// \frac{R}{L} - \frac{1}{CR} \frac{1}{CR} > \frac{R}{L}
LC// - C \frac{R}{L} - \frac{1}{CR} \frac{1}{CR} > \frac{R}{L}

[edit] Tuned Selected Band Pass Filters

Filters Tuned Resonance Selected Band Pass
Series RLC
RLC series circuit.png
\omega_o = \sqrt{\frac{1}{LC}}
I = \frac{V}{R}		 ω1 − ω2
I = V\frac{1}{2R}
Narrow Band < I = \frac{V}{2R}< Wide Band		 * Tuned L or C until Resonance frequency is reached. At this point
The Resonant Frequency \omega_o = \sqrt{\frac{1}{LC}}
The value of Current I = \frac{V}{R}

* Then adjust R to have a reduced value of curent by increasing R. At this reduced value of current, we have a band of frequencied where current does not change with frequency
The value of current I = V\frac{1}{2R}
The Selected Frequency Band

ω1 − ω2

* For the value of current
Narrow Band < I = \frac{V}{2R}< Wide Band
Parallel RLC
200
 \omega_o = \sqrt{\frac{1}{LC}}
V = I R		 ω1 − ω2
V = I\frac{R}{2}
Narrow Band < I = \frac{IR}{2}< Wide Band		 * Tuned L or C until Resonance frequency is reached. At this point
The Resonant Frequency \omega_o = \sqrt{\frac{1}{LC}}
The value of Current I = \frac{V}{R}

* Then adjust R to have a reduced value of curent by increasing R. At this reduced value of current, we have a band of frequencied where current does not change with frequency
The value of current I = V\frac{1}{2R}
The Selected Frequency Band

ω1 − ω2

* For the value of current
Narrow Band < I = \frac{V}{2R}< Wide Band



Thể loại:Sổ Tay Điện Tử

[edit] Lý Thuyết

Với Hàm số Sóng F(t) = Sin ωt

f = \frac{d}{dt} F(t) . g = \int F(t) dt

có thể viết dưới dạng véc tờ

f(ω,θ) = ω /_ θ . g(\omega,\theta) = \frac{1}{\omega} /_ -θ

Dùng hoán chuyển Fourier

f(jω) = jω . g(j\omega) = \frac{1}{j\omega}

Dùng hoán chuyển Laplace

f(s) = s . g(s) = \frac{1}{s}

Khi mắc Tụ điện với điện AC, Sin ωt , Điện thế và Dòng điện của Tụ Điện

V = \frac{1}{L} \int V dt = \frac{1}{\omega C} /_ - 90 = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{sC}
I = C \frac{dV}{dt} = ωC /_ 90 = jωC = sC

Khi mắc Cuộn cảm với điện AC, Sin ωt , Điện thế và Dòng điện của Cuộn Cảm

V = L \frac{dI}{dt} = ωL /_ 90 = jωL = sC
I = \frac{1}{L} \int V dt = \frac{1}{\omega L} /_ - 90 = \frac{1}{j\omega L} = \frac{1}{sL}
Link Kiện Biểu Tượng Dòng Điện Điện Thế Điện Kháng
Điện Trở R I = \frac{V}{R} V = IR Z = \frac{V}{I} = R/_0
Cuộn Cảm L I = \frac{1}{L} \int V dt V = L \frac{dI}{dt} Z = \frac{V}{I} = \frac{L \frac{dI}{dt}}{I} = ωL /_ 90
Tụ Điện C I = C \frac{dV}{dt} V = \frac{1}{C} \int I dt Z = \frac{V}{I} = \frac {\frac{1}{L} \int I dt}{I} = \frac{1}{\omega C} /_ - 90
Link Kiện Biểu Tượng V(t) V(θ) V(jωT) V(s)
Cuộn Cảm L V = L \frac{dI}{dt} V = ωL /_90 V = jωL V = sL
Cuộn Cảm L I = \frac{1}{L} \int I dt I = \frac{1}{\omega L} /_ - 90 I = \frac{1}{j\omega L} I = \frac{1}{sL}
Link Kiện Biểu Tượng V(t) V(θ) V(jωT) V(s)
Tụ Điện C V = \frac{1}{C} \int I dt V = \frac{1}{\omega C} /_- 90 V = \frac{1}{j\omega C} V = sC
Tụ Điện C I = C \frac{dV}{dt} I = ωC /_ 90 I = jωC I = sC

Với ba linh kiện điện tử R, L, C và một lối mắc nối tiếp, song song, hai cổng sẻ được những mạch điện sau

  • Nối tiếp - RL nối tiếp, RC nối tiếp, LC nối tiếp, RLC nối tiếp
  • Song song - RL Song song, RC Song song, LC Song song, RLC Song song
  • Hai Cổng - R-C , R-L, C-R, L-R

[edit] Mạch Nối Tiếp

[edit] Mạch RC Nối Tiếp

  • V = V_R + V_C = IR + \frac {1}{C} \int I dt
V = I ( R + \frac {1}{j \omega C} ) = \frac{1 + j \omega CR}{j \omega C}
\frac{V}{I} = \frac{1}{X_C} (1 + j\omega T) . T = CR

[edit] Mạch RL Nối Tiếp

  • V = V_R + V_L = IR + L \frac{dI}{dt}
V = I ( 1 + j \omega \frac{L}{R} )
\frac{V}{I} = ( 1 + j \omega T ) . T = \frac{L}{R}

[edit] Mạch LC Nối Tiếp

  • V = V_L + V_C = L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \int I dt
V = I ( j \omega L + \frac {1}{j \omega C} )
V = I (\frac{1 + j \omega^2 LC}{j \omega C})
\frac{V}{I} = \frac{1}{X_C} ( 1 + j\omega^2 T ) . T = LC

[edit] Mạch RLC Nối Tiếp

RLC series circuit.png
  • V = V_R + V_L + V_C = IR + L \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} \int I dt
L \frac{d^2I}{dt} + R \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} I = 0
\frac{d^2I}{dt} + \frac{R}{L} \frac{dI}{dt} + \frac{1}{LC} I = 0

Phương trình vi phân bậc hai có hai nghiệm

ω = -α ± \sqrt {\alpha^2 - \beta^2}
\alpha = \frac{R}{2L}
\beta = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Dòng điện tại bất kỳ thời điểm thời gian

I(t) = A eω1 t + B eω2 t
  • α2 = β2
ω = -α = - \frac{R}{2L}
I (t) = (A + B) e^ (-\frac{R}{2L}) t
  • α2 > β2,
ω1 = -α + \sqrt {\alpha^2 - \beta^2}
ω1 = -α - \sqrt {\alpha^2 - \beta^2}
I(t) = A eω1 t + B eω2 t
  • α2 < β2,
ω = -α + j\sqrt {\beta^2 - \alpha^2 }
ω = -α - j\sqrt {\beta^2 - \alpha^2 }
 :I(t) = A eω1 t + B eω2 t


[edit] Đồng Bộ

Tại tần số đồng bộ, ω = ωo . linh kiện lệ thuộc tần số triệt tiêu

  • ZL − ZC = 0 = ZL = ZC
j \omega L = \frac{1}{j \omega C}
\omega = \sqrt {\frac{1}{LC}}
  • Z = ZR + ZL − ZC = ZR = R
I = \frac{V}{R}

Tại tần số đồng bộ \omega = \sqrt {\frac{1}{LC}} . Dòng điện có giá trị cao nhứt I = \frac{V}{R} . Tại tần số, ω = 0, Tụ điện hở mạch , dòng điện bằng không. Tại tần số, ω = 00, Cuộn cảm hở mạch, dòng điẹn bằng không .


Vậy Dòng điện của mạch điện bằng không, I = 0 , ở tần số ω = 0 . Tăng dần từ không đến giá trị cao nhứt, I = \frac{V}{R} , ở tần số đồng bộ \omega = \sqrt {\frac{1}{LC}} . Từ đó, Giảm dần từ giá trị cao nhứt đến không , I = 0 , ở tần số ω = 00


Nếu dòng điện giảm dưới mức \frac{V}{R} , mạch điện sẻ có dòng điện ổn ở một băng tần từ ω1 đến ω2 . Băng tần rộng hay hẹp tùy thuộc vào giá trị dòng điện

I = \frac{V}{2R} Mạch điện ổn ở băng tần ω1 - ω2
I < \frac{V}{2R} Mạch điện ổn ở băng tần ω1 - ω2 rộng
\frac{V}{R} < I > \frac{V}{2R} Mạch điện ổn ở băng tần ω1 - ω2 hẹp

[edit] Mạch Song Song

[edit] Mạch RC Song Song

A parallel RC Circuit
  • I = I_R + I_C = \frac {V}{R} + C \frac{dV}{dt}
I = V (R + j \omega C) = \frac{1 + j \omega CR}{R}
\frac{I}{V} = \frac{1}{R} (1 + j \omega T) . T = CR

[edit] Mạch RL Song Song

An RL parallel circuit
  • I = I_R + I_L = \frac{V}{R} + \frac{1}{L} \int V dt
  • I = V ( \frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} ) = \frac {R + j \omega L}{j \omega RL}
\frac{I}{V} = \frac{1}{X_L} (1 + j \omega T) . T = \frac{L}{R}

[edit] Mạch LC Song Song

LC circuit diagram
  • I = I_L + I_C = \frac{1}{L} \int I dt + C \frac {dV}{dt}
I = V (\frac{1}{j \omega L} + j \omega C)
\frac {I}{V} = \frac{1}{X_L} ({1 + j \omega^2 T}) . T = LC

[edit] Mạch RLC Song Song

RLC parallel circuit.png

  • It = IR + IL + IC
I_t = \frac{V}{R} + \frac{1}{L} \int V dt + C \frac{dV}{dt}

Phương trình vi phân bậc hai có hai nghiệm

ω = -α ± \sqrt {\alpha^2 - \beta^2}
\alpha = \frac{1}{2CR}
\beta = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Dòng điện của mạch điện

I (t) = A eω1 t + B eω2 t
  • α2 = β2,
ω = -α = \frac{1}{2CR}
I (t) = ( A + B ) e ^ (-\frac{1}{2CR} t)
  • α2 > β2, hai nghiệm thực
ω = -α ± \sqrt {\alpha^2 - \beta^2}
I (t) = A eω1 t + B eω2 t
  • α2 < β2, hai nghiệm ảo
ω = -α ± j\sqrt {\beta^2 - \alpha^2 }
I (t) = A eω1 t + B eω2 t

[edit] Đồng Bộ

Ở tần số đồng bộ , ω = ωo , công cụ lệ thuộc tần số triệt tiêu

  • ZL − ZC = 0 . ZL = ZC
\omega L = \frac{1}{\omega C}
\omega = \sqrt {\frac{1}{LC}}
  • Z = ZR + ZL − ZC = ZR = R
I = \frac{V}{R}

Tại ω = 0, Tụ điện hở mạch. Vì vậy V = 0 . Tại ω = ωo, ZL = ZC, Vì vậy V = I R . Tại ω = 00, Cuộn cảm hở mạch. Vì vậy , V = 0

Khi điện thế giảm còn một nửa bằng cách giảm điện trở kháng, mạch điện có điện thế ổn không đổi theo tần số trên một dải tần

V = I \frac{R}{2}
ω1 - ω2

Băng tần rộng hay hẹp tùy thuộc vào giá trị của điện thế

V < I \frac{R}{2} . Băng tần rộng
I R < V > I \frac{R}{2} . Băng tần hẹp

[edit] Bộ Lọc

[edit] Bộ Lọc Tần số Thấp

[edit] Mạch LR

\frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_R}{Z_R + Z_L} = \frac{R}{R + j\omega L}
\frac{V_o}{V_i} = \frac{1}{1 + j\omega T} . T = \frac{L}{R} . \omega_o = \frac{1}{T}

Tại tần số ω = 0,Vo = Vi . Tại tần số \omega_o = \frac{R}{L}, V_o = \frac{V_i}{2} . Tại tần số ω = 00,Vo = 0 . Mạch điện có điện thế ổn ở tần số thấp và giảm dần ở tần số cao nên được dùng làm Bộ Lọc Tần Số Thấp

[edit] Mạch RC

\frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_C}{Z_R + Z_C} = \frac{\frac{1}{j \omega C}} {R + \frac{1}{j \omega C}}
\frac{V_o}{V_i} = \frac{1}{1 + j\omega T} . T = CR . \omega_o = \frac{1}{T}

Tại tần số ω = 0,Vo = Vi . Tại tần số ngừng dẩn \omega_o = \frac{R}{L}, V_o = \frac{V_i}{2} . Tại tần số ω = 00,Vo = 0 . Mạch điện có điện thế ổn ở tần số thấp và giảm dần ở tần số cao nên được dùng làm Bộ Lọc Tần Số Thấp

[edit] Bộ Lọc Tần số Cao

[edit] Mạch RL

Series RL circuit
\frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_L}{Z_R + Z_L} = \frac{j\omega L}{R + j\omega L}
\frac{V_o}{V_i} = j\omega T (\frac{1}{1 + j\omega T}) . T = \frac{L}{R}

Tại tần số ω = 0,Vo = 0 . Tại tần số ngừng dẩn \omega_o = \frac{R}{L}, V_o = \frac{V_i}{2} . Tại tần số ω = 00,Vo = Vi . Mạch điện có điện thế ổn ở tần số cao và tăng dần ở tần số thấp nên được dùng làm Bộ Lọc Tần Số Cao


[edit] Mạch CR

\frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_R}{Z_R + Z_C} = \frac{j\omega CR}{R + j\omega C}
\frac{V_o}{V_i} = j\omega T (\frac{1}{1 + j\omega T}) . T = CR . \omega_o = \frac{1}{T}

Tại tần số ω = 0,Vo = 0 . Tại tần số ngừng dẩn \omega_o = \frac{R}{L}, V_o = \frac{V_i}{2} . Tại tần số ω = 00,Vo = Vi . Mạch điện có điện thế ổn ở tần số cao và tăng dần ở tần số thấp nên được dùng làm Bộ Lọc Tần Số Cao

[edit] Tổng Kết

Bộ Lọc Tần số Thấp được tạo từ mắc nối Điện Trở với Tụ điện hay Cuộn Cảm theo định hình LR , RC .

Tại tần số ω = 0,Vo = Vi . Tại tần số ngừng dẩn \omega_o = \frac{R}{L}, V_o = \frac{V_i}{2} . Tại tần số ω = 00,Vo = 0 . Mạch điện có điện thế ổn ở tần số thấp và giảm dần ở tần số cao

Bộ Lọc Tần số Thấp có hàm số toán

\frac{V_o}{V_i} = \frac{1}{1 + j\omega T} . T = \frac{L}{R} = CR . \omega_o = \frac{1}{T}


Bộ Lọc Tần số Cao được tạo từ mắc nối Điện Trở với Tụ điện hay Cuộn Cảm theo định hình RL , CR .

Tại tần số ω = 0,Vo = 0 . Tại tần số ngừng dẩn \omega_o = \frac{R}{L}, V_o = \frac{V_i}{2} . Tại tần số ω = 00,Vo = Vi . Mạch điện có điện thế ổn ở tần số cao và tăng dần ở tần số thấp

\frac{V_o}{V_i} = j\omega T (\frac{1}{1 + j\omega T}) . T = \frac{L}{R} = CR . \omega_o = \frac{1}{T}

[edit] Bộ Lọc Băng Tần

Bộ Lọc Băng Tần được tạo từ mắc nối Bộ Lọc Tần Số Thấp với Bộ Lọc Tần Số Cao để được mạch điện có điện ổn ở một băng tần

[edit] Mạch LR + CR

Bộ Lọc Tần Số Thấp LR mắc nối với Bộ Lọc Tần Số Cao CR cho một Bộ Lọc Băng Tần có điện ổn không đổii theo tần số trên một dải tần

\frac{R}{L} đến \frac{1}{RC} với điều kiện \frac{1}{RC} > \frac{R}{L}

[edit] Mạch RC + RL

Bộ Lọc Tần Số Thấp RC mắc nối với Bộ Lọc Tần Số Cao RL cho một Bộ Lọc Băng Tần có điện ổn không đổii theo tần số trên một dải tần từ

\frac{1}{RC} đến \frac{R}{L} với điều kiện \frac{R}{L} > \frac{1}{RC}

[edit] Bộ Lọc Đồng Bộ Chọn Lựa Băng Tần

[edit] RLC Nối Tiếp

RLC series circuit.png

Ở Tần Số Đồng Bộ

\omega_o = \sqrt{\frac{1}{LC}}
I = \frac{V}{R}

Giảm dòng điện bằng cách tăng R để được I = \frac{V}{2R} nơi mạch điện ổn trên băng tần ω1 − ω2

Băng tần rộng hay hẹp tùy thuộc vào giá trị của dòng điện .

Băng Tần Rộng, I < \frac{V}{2R} .
Băng Tần Hẹp, \frac{V}{2R}< I > \frac{V}{2R}

Mạch RLC nối tiếp có khả năng lựa chọn băng tần nơi có điện ổn không đổi theo tần số trên một dải tần

Chỉnh L hay C vào tần số đồng bộ

\omega_o = \sqrt{\frac{1}{LC}}

Chỉnh R để giảm giá trị của dòng điện , bằng cách tăng giá trị của R , để được dòng điện ổn không đổi theo tần số trên một dải tần ω1 − ω2

[edit] Tổng Kết

  • MẠCH NỐI TIẾP, SONG SONG
Mạch Điện Nối Tiếp Song Song
RC \frac{V}{I} = \frac{1}{X_C} (1 + j\omega T) . T = CR . \omega_o = \frac{1}{T} \frac{I}{V} = \frac{1}{R} (1 + j \omega T) T = CR . \omega_o = \frac{1}{T}
RL \frac{V}{I} = ( 1 + j \omega T ) T = \frac{L}{R} . \omega_o = \frac{1}{T} \frac{I}{V} = \frac{1}{X_L} (1 + j \omega T) T = \frac{L}{R}. \omega_o = \frac{1}{T}
LC \frac{V}{I} = \frac{1}{X_C} ( 1 + j\omega^2 T ) . T = LC . \omega_o = \sqrt{\frac{1}{T}} \frac {I}{V} = \frac{1}{X_L} ({1 + j \omega^2 T}) . T = LC . \omega_o = \sqrt{\frac{1}{T}}
RLC \frac{V}{I} = \frac{j \omega^2 + j \omega \frac{R}{L} + \frac{1}{LC}}{j \omega C} \frac{I}{V} = \frac{j \omega^2 + j \omega \frac{1}{CR} + \frac{1}{LC}}{j \omega L}


Mạch Điện Symbol RLC Nối Tiếp RLC Song Song
Mạch Điện
RLC series circuit.png
200
Điện Kháng Z Z = (j\omega)^2 + (j\omega)\frac{R}{L} + \frac{1}{LC} Z = (j\omega)^2 + (j\omega) \frac{1}{RC} + \frac{1}{LC}
Nghiệm Tần Số Thời Gian λ λ = - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_o^2} λ = - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - \omega_o^2}
Dòng Điện, I(t) Aeλ1t + Beλ2t Aeλ1t + Beλ2t Aeλ1t + Beλ2t
Chỉ Số Nhiểu ζ \zeta = {R \over 2L} \zeta = {1 \over 2RC}
Tần Số Đồng Bộ ωo \omega_o = {1 \over \sqrt{L C}} \omega_o = {1 \over \sqrt{L C}}
Băng Tần Δω = 2ζ { R \over L} { 1 \over CR}
Chỉ Số Chất Lượng Q = {\omega_o \over \Delta \omega } = {\omega_o \over 2\zeta } Q = {L \over R \sqrt{LC}} = {1 \over R} \sqrt{L \over C} Q = {CR \over \sqrt{LC}} = {R} \sqrt{C \over L}


  • BỘ LỌC TẦN SỐ
Mạch Điện T ωo
Bộ Lọc Tần Số Thấp \frac{V_o}{V_i} = \frac{1}{1 + j\omega T } T = RC = \frac{L}{R} \omega_o = \sqrt{\frac{1}{T}}
Bộ Lọc Tần Số Cao \frac{V_o}{V_i} = j \omega T \frac{1}{1 + j\omega T } T = RC = \frac{L}{R} \omega_o = \sqrt{\frac{1}{T}}
  • BỘ LỌC BĂNG TẦN
Mạch Điện ω1 - ω2 Điều Kiện Hoạt Động
LR + CR \frac{R}{L} - \frac {1}{RC} \frac {1}{RC} > \frac{R}{L}
RC + RL \frac {1}{RC} - \frac{R}{L} \frac{R}{L} > \frac {1}{RC} >
  • BỘ LỌC ĐỒNG BỘ CHỌN LỰA BĂNG TẦN
Bộ Lọc Đồng Bộ Lựa Chọn Băng Tần
RLC Nối Tiếp
RLC series circuit.png
* Chỉnh L hay C vào tần số đồng bộ
\omega_o = \sqrt{\frac{1}{LC}}


* Giá Trị Dòng Điện I = \frac{V}{R}		 * Giảm dòng điện bằng cách tăng R để được I = \frac{V}{2R} nơi mạch điện ổn trên băng tần ω1 − ω2

* Băng tần rộng hay hẹp tùy thuộc vào giá trị của dòng điện
. Băng Tần Rộng với I < \frac{V}{2R}
. Băng Tần Hẹp , \frac{V}{2R}< I > \frac{V}{2R}
Retrieved from "http://en.wikibooks.org/wiki/Practical_Electronics/Simplest_Circuits"